¿Por qué 1331 es el único cubo de la forma $x^2 + x − 1$?

Question

La Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/1000_(número)#1300_to_1399) menciona que 1331 es el único cubo del formulario $x^2 + x 1$, para $x = 36$. ¿Cuál es la prueba?

Answer 1

Según SAGE, hay 6 puntos integrales en la curva.

sage: EllipticCurve([0,0,1,0,1]).integral_points(both_signs=True)
[(-1 : -1 : 1),(-1 : 0 : 1),(1 : -2 : 1),(1 : 1 : 1),(11 : -37 : 1),(11 : 36 : 1)]