Plano tangente a la ecuación de la superficie

Question

Encuentra una ecuación del plano tangente a la superficie $$(u,v)=\langle u^2+v^2,2uv,u^3\rangle$$ en el punto $$(5,4,1)$$ Conozco la ecuación de la tangente, necesitas los parciales de x e y... enchufa los puntos. vuelve a enchufar la ecuación y bam, fácil y listo. pero eso es cuando te dan una función normal... ¿por qué parece tan confuso? ¿tengo que calcular algo más?

edit: No estoy seguro de si lo estoy pensando demasiado, o si lo que hice es correcto. $$ f_u=2u+2v+3u^2 $$ $$f_v=2v+2u$$ enchufado 5 y 4 en (para u y v) $$\langle 10,8,75\rangle\langle 8,10,0\rangle$$ Tomé el producto cruzado para encontrar un vector.. y eso es lo que usé en la ecuación de la tangente. ¿He hecho esto correctamente?

Answer 1

Como primer paso debes corregir un error en la primera línea de tu pregunta: $$(u,v)=\langle u^2+v^2,2uv,u^3\rangle$$ Usted no puede hacer un par de números $(u,v)$ igual a un triple $(u^2+v^2, 2uv, u^3)$ .

Su superficie dada se define como un conjunto de todos los puntos en el espacio 3D cuyas coordenadas se ajustan a las fórmulas dadas (suponga que es un espacio euclidiano con sistema de coordenadas cartesianas rectangulares). La superficie en sí es un objeto bidimensional, por lo que se describe con dos parámetros $u$ y $v$ que denotan algunas "direcciones" de la marcha en la superficie. Cada par posible $(u,v)$ de los valores de esos dos parámetros identifican algún punto $P$ en la superficie, por lo que o bien debe decir "tenemos un punto $P$ cuya posición depende de $u$ y $v$ es tal y tal": $$P(u,v) = (u^2+v^2, 2uv, u^3)$$ o "tenemos una función que asigna un punto a cada par de parámetros de tal manera": $$(u,v) \mapsto (u^2+v^2, 2uv, u^3)$$

Ahora, hay que identificar los valores de los parámetros para el punto dado: $$(u^2+v^2, 2uv, u^3) = (5, 4, 1)$$ Esto hace un sistema de ecuaciones $$\begin{cases} u^2+v^2 & = 5 \\ 2uv & = 4 \\ u^3 & = 1 \end{cases}$$ que tiene una solución única: $$(u, v) = (1, 2)$$

Para determinar un avión tangente a la superficie en el punto, encontramos dos líneas tangente a la superficie primero. Las líneas se encuentran probando en qué direcciones el punto $P(u,v)$ moverse en nuestro espacio 3D desde el punto dado con un cambio infinitesimal de los parámetros. Una dirección está dada por una derivada $\frac{\partial P}{\partial u}$ y otro con $\frac{\partial P}{\partial v}$ : $$P_u(u,v) = \frac\partial {\partial u} (u^2+v^2, 2uv, u^3) = (2u, 2v, 3u^2)$$ $$P_v(u,v) = \frac\partial {\partial v} (u^2+v^2, 2uv, u^3) = (2v, 2u, 0)$$

Sustituir el punto dado $(u,v)=(1,2)$ y obtenemos dos vectores: $$P_u(1,2) = (2, 4, 3)$$ $$P_v(1,2) = (4, 2, 0)$$ tangente a la superficie. Estos vectores definen dos líneas que pasan por $P(1,2) = (5,4,1)$ , tangente a la superficie, y esas líneas definen un plano que se busca.

Multiplícalos para obtener un nuevo vector $N$ , ortogonal a ambos. Es un vector de dirección para un plano: $$N(1,2) = P_u(1,2) \times P_v(1,2) = (2, 4, 3)\times(4, 2, 0) = (-6, 12, -12)$$ Podemos acortarlo, ya que nos interesa su dirección, no una longitud. Así que sustituyamos $N$ con $n = N/6 = (-1, 2, -2)$ .

Ahora una ecuación general de un plano ortogonal al vector $n$ es $$n \cdot position = \mathrm{const.}$$ (¡nótese que el punto es un producto escalar de vectores aquí!) o expandido: $$n_x\cdot x+n_y\cdot y+n_z\cdot z=D$$ para alguna constante $D$ .

Tenemos $n = N/6 = (-1, 2, -2)$ por lo que la ecuación es $$-x + 2 y - 2 z=D$$ El último paso consiste en encontrar tal $D$ que hace que el avión pase $(5,4,1)$ . Lo hacemos sustituyendo el punto a la ecuación: $$-5 + 2\cdot 4 - 2\cdot 1=D$$ y encontramos $$D = 1$$

Finalmente la ecuación del plano es $$-x + 2 y - 2 z = 1$$ o equivalente $$x - 2 y + 2 z + 1 = 0$$

Answer 2

Te equivocas sobre $u=5$ y $v=4$ .

Conocer el punto $(5,4,1)$ le da $u^2+v^2=5$ , $2uv=4$ y $u^3=1$

Así que $u=1$ , $v=2$