los dos últimos dígitos de $14^{5532}$ ?

Question

Esta es una pregunta de examen, algo relacionado con la seguridad de la red, ¡no tengo ni idea de cómo resolverlo!

Los dos últimos dígitos de $7^4$ y $3^{20}$ es $01$ ¿cuáles son los dos últimos dígitos de $14^{5532}$ ?

Answer 1

Por el Teorema del resto chino basta con encontrar los valores de $14^{5532}\mod 4$ y $\bmod25$ .

Ahora, claramente $\;14^{5532}\equiv 0\mod 4$ .

Por Teorema de Euler , ya que $\varphi(25)=20$ y $14$ es primordial para $25$ tenemos: $$14^{5532}=14^{5532\bmod20}=14^{12}\mod25.$$ Tenga en cuenta que $14^2=196\equiv -4\mod25$ Así que $14^{12}\equiv 2^{12}=1024\cdot 4\equiv -4\mod25$ .

Ahora usa el C.R.T.: ya que $25-6\cdot4=1$ las soluciones a $\;\begin{cases}x\equiv 0\mod 4\\x\equiv -4\mod 25\end{cases}\;$ son: $$x\equiv \color{red}0\cdot25-6\cdot{\color{red}-\color{red}4}\cdot 4= 96\mod 100$$ Así, los dos últimos dígitos restantes de $14^{5532}$ son $\;96$ .

Answer 2

Encontrar los dos últimos dígitos implica necesariamente $\pmod{100}$

Como $(14^n,100)=4$ para $n\ge2$

Empecemos con $14^{5532-2}\pmod{100/4}$ es decir, $14^{5530}\pmod{25}$

Como $14^2\equiv-2^2\pmod{25}$

Ahora $2^5\equiv7,2^{10}\equiv7^2\equiv-1\pmod{25}$

$\implies14^{10}=(14^2)^5\equiv(-2^2)^5=-2^{10}\equiv-1(-1)\equiv1$

Como $5530\equiv0\pmod{10},14^{5530}\equiv14^0\pmod{25}\equiv1$

Ahora usa $a\equiv b\pmod m\implies a\cdot c\equiv b\cdot c\pmod {m\cdot c} $

$\displaystyle14^{5530}\cdot14^2\equiv1\cdot14^2\pmod{25\cdot14^2}$

Como $100|25\cdot14^2,$

$\displaystyle14^{5530+2}\equiv14^2\pmod{100}\equiv?$

Answer 3

${\rm mod}\,\ \color{#c00}{25}\!:\, \ 14\equiv 8^{\large 2}\Rightarrow\, 14^{\large 10}\equiv \overbrace{8^{\large 20}\equiv 1}^{\rm\large Euler\ \phi}\,\Rightarrow\, \color{#0a0}{14^{\large 1530}}\equiv\color{#c00}{\bf 1}$

${\rm mod}\ 100\!:\,\ 14^{\large 2}\, \color{#0a0}{14^{\large 1530}} \equiv 14^{\large 2} (\color{#c00}{{\bf 1}\!+\!25k}) \equiv 14^{\large 2} \equiv\, 96$

Answer 4

El OP se da cuenta rápidamente de que no podemos escribir $14^k \equiv 1 \pmod{100}$ con $k \gt 0$ , pero todavía se pueden encontrar relaciones en semigrupos (multiplicativos).

Si el último dígito de los enteros $a$ y $b$ terminar en $6$ entonces el último dígito del producto termina en $6$ . Esto nos motiva a escribir

$\quad 14^2 \equiv 96 \equiv -4 \pmod{100}$

y

$\quad 96^2 \equiv 16 \pmod{100}$
$\quad 96^3 \equiv 36 \pmod{100}$
$\quad 96^4 \equiv 56 \pmod{100}$
$\quad 96^5 \equiv 76 \pmod{100}$
$\quad 96^6 \equiv 96 \pmod{100}$

y

$\quad 96^{36} \equiv 96 \pmod{100}$
$\quad 96^{216} \equiv 96 \pmod{100}$
$\quad 96^{1296} \equiv 96 \pmod{100}$

Así que

$\; 14^{5532} = (14^2)^{2766} \equiv 96^{2766} \equiv (96^{1296})^2 (96^{174}) \equiv 96^{176} \equiv (96^{36})^4 (96^{32}) \equiv 96^{36} \equiv 96 \pmod{100}$

Answer 5

Una pista:

Utiliza el teorema de Euler, que es una generalización del Pequeño Teorema de Fermat , ya que si quieres los 2 últimos dígitos significa que lo quieres mod 100.

http://math.stackexchange.com/a/362016/255010