El $\mathbf{A}^1$ -invarianza de haces vectoriales han sido discutidos en, por ejemplo, este documento por Asok, Hoyois y Wendt. Esto implica, por supuesto, almacenar $\mathbf{A}^1$ -resultados de invariabilidad para el primer grupo de cohomología etale $H^1_{\mathrm{et}}(-,\mathbb{G}_m)$ . ¿Existen resultados similares para $H_{\mathrm{et}}^2(-,\mathbb{G}_m)$ o los grupos Brauer?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(Para $i=0$ el mapa $H_{\mathrm{et}}^{0}(\operatorname{Spec} A,\mathbb{G}_{m}) \to H_{\mathrm{et}}^{0}(\operatorname{Spec} A[t],\mathbb{G}_{m})$ es un isomorfismo si y sólo si $A$ se reduce).
Para $i=1$ es un teorema de Traverso que $H_{\mathrm{et}}^{1}(\operatorname{Spec} A,\mathbb{G}_{m}) \to H_{\mathrm{et}}^{1}(\operatorname{Spec} A[t],\mathbb{G}_{m})$ es un isomorfismo si y sólo si $A$ es seminormal.
Para $i=2$ al menos cuando $A$ es un campo, el mapa $H_{\mathrm{et}}^{2}(\operatorname{Spec} A,\mathbb{G}_{m}) \to H_{\mathrm{et}}^{2}(\operatorname{Spec} A[t],\mathbb{G}_{m})$ es un isomorfismo si y sólo si $A$ es perfecto; por lo tanto, si $A$ es regular con campo de fracciones perfecto tenemos un resultado positivo similar (ver Auslander, Goldman, El grupo de Brauer de un anillo conmutativo , ( enlace ) 7,5, 7,7 respectivamente). En general (al menos para la torsión) sólo tenemos que preocuparnos por el $p$ -torsión para primos $p$ que no son invertibles en $A$ . Hay algunos resultados positivos adicionales en Knus, Ojanguren, Una secuencia de Mayer-Vietoris para el grupo de Brauer ( enlace ) Teorema 3.6 y me interesaría una caracterización más completa.
