$\mathbb Z^2\subset G$ implica $F\not \stackrel{f.i.}{\subset} G$

Question

Sea $G$ un grupo finitamente generado que tiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb Z^2$. Necesito demostrar que $G$ no puede tener un grupo libre $F$ como subgrupo de índice finito.

Hasta ahora noté que entonces $\mathbb Z^2 \cap F$ tiene índice finito en $\mathbb Z^2$. Pero ¿cómo procedo desde aquí?

Answer 1

Pista: mostrar que (a) si $G$ tiene un subgrupo libre de índice finito, entonces cada subgrupo de $G$ tiene un subgrupo libre de índice finito. (b) $\mathbf{Z}^2$ no tiene un subgrupo libre de índice finito.

(Nota: esto se basa en el resultado clásico de que los subgrupos de grupos libres son libres; sin embargo, aquí es suficiente comprobar que cada subgrupo abeliano de un grupo libre es libre [y por lo tanto cíclico]; este último hecho es más fácil: en un grupo libre, cada elemento no trivial tiene un centralizador cíclico infinito.)