¿Cómo puedo demostrar $2^x > x$ y $x \in \mathbb R$

Question

Puedo demostrar esto para los números naturales con la inducción. Pero no sé cómo hacerlo para los números reales $\Bbb R$ . Lo único que se me ocurre es probar 3 partes $x \leq 0$ , $0 \lt x \lt 1$ y $x \geq 1$ .

Por favor, ayuda, ¡gracias de antemano!

Answer 1

Basta con definir la función $f(x) = 2^x - x$ . Observe que $f'(x)= \log (2)2^x-1$ . Busquemos donde esta derivada es igual a cero: $$\log(2)2^x-1=0\implies 2^x=\frac{1}{\log(2)}\implies x=\log_2\left(\frac{1}{\log(2)}\right).$$ Ahora bien, observe que este valor está entre $0$ y $1$ (porque $\frac{1}{\log(2)}<2$ porque $\log(2)>1/2$ ), y en nuestro caso, $f'(0)=\log (2)-1<0$ y $f'(1)=\log(2)2-1>0$ por lo que podemos concluir $x_0=\log_2\left(\frac{1}{\log(2)}\right)$ es un mínimo absoluto de $f$ en $\mathbb R$ .

Por último, observe que la evaluación de $f$ en su mínimo nos da un valor positivo, por lo que necesariamente la función es positiva en todos los puntos: $$f(x_0)=\frac{1}{\log(2)}-\log_2\left(\frac{1}{\log(2)}\right)>0,$$ porque $\frac{1}{\log(2)}>1$ y $x_0\in(0,1)$ como dijimos antes, y esto demuestra entonces que $$f(x)=2^x-x>0, \forall x\in\mathbb R,$$ por lo que $2^x>x$ , $\forall x\in\mathbb R$ .

Answer 2

Para $x \leq 0$ la desigualdad es trivial. Por lo tanto, nos centramos en $x > 0$ . Al tomar $\log$ basta con demostrar que $x\log(2) > \log(x)$ o, por el contrario, que $f(x) = x \log(2) - \log(x) > 0$ para todos $x > 0$ . Tenga en cuenta que $f(x) \to \infty$ como $x \to 0$ y $f(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ . Desde $f$ es continua, esto implica que $f$ alcanza un mínimo en algún momento $x_0 \in (0, \infty)$ . Por el principio de Fermat, $x_0$ satisface $f'(x_0) = 0$ . Resolver para $x_0$ da $x_0 = \frac{1}{\log(2)}$ . Tenemos $f(x_0) = 1 - \log(\frac{1}{\log(2)}) \approx 0.633 > 0$ . Así, $f(x) > f(x_0) > 0$ para todos $x \in (0, \infty)$ .

Answer 3

Para $x\le 0$ Esto es claramente cierto ya que $2^x$ es positivo. Para $x>0$ puede probar con La desigualdad de Bernoulli . Esto requiere un exponente entero, por lo que se puede utilizar $\lfloor x \rfloor$ : $$\begin{align}2^x &\ge 2^{\lfloor x\rfloor} \\ &=(1+1)^{\lfloor x\rfloor} \\ &\ge 1+\lfloor x\rfloor \\ &> x \end{align}$$ Obsérvese que la última línea utiliza $\lfloor x\rfloor>x-1$ .

Answer 4

Si conoce algunas propiedades básicas de $2^x$ (positiva, monótona creciente, $2^{a+b} = 2^a2^b$ , $2^0=1$ , $2^1=2$ y $2^2=4$ ) entonces este resultado se deduce de forma bastante sencilla del caso en el que $x$ es un número natural.

Desde $2^x > 0$ para todos $x$ tenemos, en particular, que $2^x > x$ para todos $x < 0$ .

Para $0 \leq x < 1$ tenemos $2^x \geq 2^0 = 1 > x.$

Para $1 \leq x < 2$ tenemos $2^x \geq 2^1 = 2 > x.$

Para $2 \leq x < 4$ tenemos $2^x \geq 2^2 = 4 > x.$

Para $x \geq 4$ tenemos $$2^x \geq 2^{\lfloor x\rfloor} = 2(2^{\lfloor x\rfloor - 1}) > 2(\lfloor x\rfloor - 1) = \lfloor x\rfloor + (\lfloor x\rfloor -2) \geq \lfloor x \rfloor + 2 > x$$

En este último caso, utilizo $2^{\lfloor x\rfloor - 1} > \lfloor x\rfloor - 1$ que es donde he utilizado el resultado $2^n > n$ para los números naturales $n$ .