Operaciones como $\sqrt{f(x)^2}$ , $f(x) + a - a$ son candidatos obvios para dicho conjunto. Sin embargo, por ejemplo, para la línea $y = -x$ me parece que no es trivial que $x^3 + y^3 = 0$ trazará la misma línea pero $x^2 + y^2 = 0$ no lo hará. La traslación entre sistemas de coordenadas también parece ser un ejemplo no trivial. ¿Hay alguna manera de designar un conjunto de este tipo? (¿Podría generalizarse a otros tipos de curvas?)
A continuación, algunas reflexiones más sobre la cuestión:
Sería interesante encontrar formas de ecuación alternativas que pudieran dejar más claras ciertas propiedades de una curva. Por ejemplo, $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$ hace inmediatamente evidente la abscisa y la ordenada en el origen. Pero sabemos que bajo algunos tipos de álgebra, $ax + by + c = 0$ puede falla para ser representado por $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$ . Así que nos lleva a pensar que estas dos ecuaciones trazan una línea en virtud de las operaciones legítimas entre ellas.
La ecuación de un plano también parece estar bien relacionada con la forma general de una línea, si $r_0 = (x_0, y_0)$ y $r = (x, y)$ son dos vectores que apuntan al plano y la normal es $n = (n_x, n_y)$ . Si $\circ$ entre vectores es el producto punto, $(x - x_0, y - y_0) \circ n = (x-x_0)*n_x + (y - y_0)*n_y = n_x*x + n_y * y - (x_0n_x + y_0n_y) = a*x + b*y + c = 0$
La idea es poder ver cómo la formulario de una ecuación se puede alterar, no el contenido de las variables. Me parece impar que ecuaciones muy complicadas podrían tener la misma curva trazada que las formas simples, pero que esta propiedad no aparecería en virtud de la ecuación misma, o del conjunto de operaciones válidas sobre esta ecuación. Esto puede parecer raro, pero digamos que nunca es inmediatamente obvio que $ax + by + c = 0$ traza una línea, o $x^2 + y^2 = r^2$ traza un círculo, a menos que nosotros hagamos el trazado, y $ax + by + c = 0$ parece mucho menos fundamental que $y = mx + b$ .
Nótese que en el caso de un círculo, tenemos el teorema de Pitágoras que parece ser su representación más clara con los métodos de la geometría analítica, y en el momento en que se puede decir que una ecuación comparte algún tipo de conjunto de operaciones con el teorema de Pitágoras, sabemos que estamos hablando de un círculo. Parece que si pudiéramos de alguna manera dibujar el conjunto de operaciones de un círculo, obtendríamos algo así como el teorema de Pitágoras, y que este conjunto de operaciones se deforma de alguna manera para dar una representación en el plano cartesiano. Para una circunferencia trasladada con centro $(h, k)$ , $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yk + k^2 = r^2$ no significa absolutamente nada para nosotros, pero la forma $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ está más claro que el agua.
(Perdón si no soy claro, hago lo posible por exponer bien la pregunta)
