El teorema 3.29 de la obra de Walter Rudin Principios del análisis matemático , 3ª ed., afirma que
Si $p>1$ , entonces la serie $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\log n)^p} $$ converge; si $p \leq 1$ la serie diverge.
Ahora, en la prueba, Rudin sólo parece discutir el caso cuando $p> 0$ ya que sólo en este caso particular podemos utilizar la prueba de condensación de Cauchy.
Cómo tratar el caso de $p<0$ ?
Por supuesto, el caso $p=0$ produce la serie armónica divergente.