Teorema 3.29 en Baby Rudin

Question

El teorema 3.29 de la obra de Walter Rudin Principios del análisis matemático , 3ª ed., afirma que

Si $p>1$ , entonces la serie $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\log n)^p}$$ converge; si $p \leq 1$ la serie diverge.

Ahora, en la prueba, Rudin sólo parece discutir el caso cuando $p> 0$ ya que sólo en este caso particular podemos utilizar la prueba de condensación de Cauchy.

Cómo tratar el caso de $p<0$ ?

Por supuesto, el caso $p=0$ produce la serie armónica divergente.

Answer 1

El caso de $p<0$ es trivial, ya que $$\sum_{k=2}^\infty \frac{\ln^{-p} k}{k}\ge\sum_{k=4}^\infty \frac{1}{k}.$$

Answer 2

Puedes utilizar la prueba integral:

$$\sum_{n \geq 2 }\frac{1}{n ( \log n )^p} \cong \int\limits_2^{\infty} \frac{dz}{z (\log z )^p} = \int\limits_{2}^{\infty} \frac{ d(\log z)}{ ( \log z )^p }= ...$$