De las notas sobre $K$ -teoría de Allen Hatcher, uno se da cuenta de que $K$ -para demostrar que las únicas álgebras de división sobre $\mathbb{R}$ son las álgebras reales, complejas, de cuaterniones y de octoniones con división.
¿Qué otros resultados sólidos de $K$ -existen teorías comprensibles para un estudiante de grado que le motivan a estudiar $K$ -¿teoría?
El Teorema de la bola peluda establece que todo campo vectorial en $S^2$ tiene un cero, a diferencia del círculo $S^1$ que tiene un campo vectorial cero en ninguna parte, normalmente escrito $\frac{\partial}{\partial\theta}$ . Así que una pregunta natural es qué esferas $S^n$ ¿tiene un campo vectorial cero en ninguna parte? Teniendo en cuenta las observaciones realizadas hasta ahora, se podría suponer que depende de la paridad de $n$ (es decir, si $n$ es par o impar). Esto resulta ser el caso. Se deduce de la Teorema de Poincaré-Hopf que una variedad cerrada tiene un campo vectorial en ninguna parte cero si y sólo si tiene la característica de Euler cero. Como $\chi(S^n) = 1 + (-1)^n$ vemos que $S^n$ tiene un campo vectorial cero en ninguna parte si y sólo si $n$ es impar.
Ahora que sabemos qué esferas admiten un campo vectorial cero en ninguna parte, podemos intentar determinar cuántos campos vectoriales de este tipo admiten. Por supuesto, podríamos tomar el campo vectorial que tenemos en ninguna parte y multiplicarlo por un número distinto de cero para obtener otro campo vectorial en ninguna parte. Para evitar este tipo de redundancia, nos planteamos una pregunta más refinada:
¿Cuál es el número máximo de campos vectoriales linealmente independientes en $S^n$ ?
Una colección de campos vectoriales $V_1, \dots, V_k$ en un colector liso $M$ se dice que son linealmente independiente si $\{V_1(x), \dots, V_k(x)\}$ es linealmente independiente para cada $x$ .
Si $n$ es par, la respuesta es cero. Si $n$ es impar, la respuesta es al menos $1$ pero es como máximo $n$ . Si la respuesta es $n$ entonces $S^n$ se dice que paralelizable (es decir, el haz tangente es trivial). Los únicos valores de $n$ para lo cual $S^n$ es paralelizable son $n = 0, 1, 3,$ y $7$ lo que está relacionado con el hecho de que son las esferas unitarias en $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{H}$ y $\mathbb{O}$ respectivamente. Así, para cualquier otro valor impar de $n$ sabemos que la respuesta es al menos una pero como máximo $n - 1$ .
El problema destacado fue resuelto por Frank Adams en su $1962$ papel Campos vectoriales en esferas . Se ha demostrado previamente que hay al menos $\rho(n+1) - 1$ campos vectoriales linealmente independientes en $S^n$ y Adams demostró que no admite $\rho(n+1)$ campos vectoriales linealmente independientes. Aquí $\rho(n)$ es el $n^{\text{th}}$ Número de Radon-Hurwitz: escribir $n = 2^{4a+b}c$ con $a, b, c$ enteros no negativos, $c$ impar, y $0 \leq b \leq 3$ entonces $\rho(n) = 2^b + 8a$ . En su artículo, Adams combina la teoría de la homotopía y la topología $K$ -para resolver el problema mencionado (que se encuentra en el ámbito de la topología diferencial).
A continuación he enumerado algunos valores para dar una idea de la estructura de estos números de Radon-Hurwitz aparentemente extraños.
$$ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc } n & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 & 21 & 23 & 25 & 27 & 29 & 31 & 33\\ \hline \rho(n) & 1 & 3 & 1 & 7 & 1 & 3 & 1 & 8 & 1 & 3 & 1 & 7 & 1 & 3 & 1 & 9 & 1 \end{array} $$
Aquí es la primera $10,000$ sólo hay que tener en cuenta que se indexa de forma diferente: la columna de la izquierda es el valor de $n$ y la columna de la derecha es el valor de $\rho(2n + 1)$ . Se puede demostrar que todo número entero $k \equiv 0, 1, 3, 7 \bmod 8$ es de la forma $\rho(n)$ para algunos $n$ . Sin embargo, para un determinado $k$ el más pequeño $n$ para lo cual $\rho(n) = k$ puede ser mucho mayor que $k$ . Por ejemplo, en el primer $10,000$ términos, el valor más alto de $\rho(n)$ es $27$ .
Si te interesan los colectores, te interesan los haces vectoriales sobre el colector (o espacios más generales). Dado un colector, clasificar sus haces vectoriales es realmente difícil.
$K$ -La teoría de la estabilidad es el estudio de los haces vectoriales estables, es decir, los haces vectoriales con una noción más débil de equivalencia. Si se puede calcular la $K$ grupos de un colector, se entienden los haces vectoriales estables. Resulta que esto es más fácil de calcular. Por ejemplo, podemos calcular esto para las esferas (periodicidad de Bott).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
