Dos teoremas sobre las bases de los espacios vectoriales... ¿en qué se diferencian?

Question

Supongamos que $V$ puede ser generado por $n$ vectores. Entonces cualquier secuencia de vectores de longitud mayor que $n$ es linealmente dependiente.

$\vdots$

Toda lista de extensión en un espacio vectorial puede reducirse a una base del espacio vectorial.

El primer teorema afirma que si tenemos una secuencia $S = (v_1,\ldots,v_n)$ de $n$ vectores tales que $\operatorname{span}(S) = V,$ y luego añadir más vectores a $S$ lo hace linealmente dependiente en $V$ (y por tanto no es una base), mientras que el segundo teorema afirma que si ya tenemos una secuencia $S$ tal que $\operatorname{span}(S) = V,$ entonces podemos eliminar los vectores para hacer $S$ una base (En particular, linealmente independiente). Así que en resumen, podemos añadir vectores a una lista de extensión y no será una base, pero podemos quitar vectores hasta que la lista de extensión sea una base...

Pregunta: Parece que cualquiera de estos teoremas puede utilizarse indistintamente para demostrar que todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, así que ¿en qué se diferencian ambos teoremas? Me parecen tan similares...

Answer 1

Los teoremas discuten esencialmente la naturaleza de una base. Una base para un espacio debe ser a la vez extensible y linealmente independiente. Por lo tanto, una base $B$ para un espacio vectorial $V$ debe tener al menos $dim V$ elementos, y como máximo $dim V$ elementos. La dimensión de $V$ es exactamente la dimensión de cualquiera de sus bases.

Es decir, la primera afirmación le da un límite superior al tamaño de una base, y la segunda le da un límite inferior a la longitud de la base.