Dado que $p$ es primo, $\gcd(a, p^2) = p$ y $\gcd(b, p^3)=p^2$ encontrar $\gcd(a+b, p^4)$

Question

Dado que p es primo, $\gcd(a, p^2)=p$ y $\gcd(b, p^3)=p^2$ encontrar $\gcd(a+b, p^4)$ .

Realmente no estoy seguro de cómo enfocar el problema. Mi intuición al verlo me hace pensar que la respuesta sería simplemente p . Pero no tengo ni idea de si eso es correcto o cuál es la forma adecuada de obtener esa respuesta. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Desde $p$ divide ambos $a$ y $b$ , se divide $a+b$ . Usted quiere demostrar que ningún poder superior de $p$ divide $a+b$ .

Para la contradicción, digamos $p^2$ divide $a+b$ . Entonces, como $p^2$ también divide $b$ se deduce que $p^2$ divide $(a+b)-b = a$ . Pero...

Answer 2

Sugerencia: Como $\gcd(a,p^2) = p$ y $\gcd(b,p^3)=p^2$ , usted sabe que $a = pm$ y $b = p^2n$ donde $p\nmid m, n$ . Entonces $a+b = p(m+pn)$ y $p\nmid (m+pn)$ . ¿Puedes seguir a partir de ahí?