Deformando involuciones antiholomórficas

Question

Sea $(M,J)$ una variedad suave casi compleja compacta. Podemos "deformar" $J$ de la siguiente manera: si $A$ es una sección suave del haz de endomorfismos $\mathrm{End}(TM)\to M$ que satisface $ AJ=-JA, $ entonces se sigue que $ Je^A=e^{-A}J, $ donde $e^A$ es la exponencial matricial de $A$. De inmediato se sigue que $$ J':=Je^A $$ es otra estructura casi compleja en $M$.

Supongamos que $\phi:M\to M$ es un difeomorfismo que es una involución anti-$J$-holomorfa, es decir, $$ J\circ d\phi=-d\phi \circ J \qquad \text{y} \qquad \phi\circ \phi =\mathrm{id}. $$

Pregunta. ¿Podemos deformar $\phi$ en una involución anti-$J'$-holomorfa?

Creo que esto será cierto si existe un campo vectorial $\eta\in \Gamma(TM)$ tal que el difeomorfismo $\phi':M\to M$ definido por $$ \phi'(x)=(\phi\circ \mathrm{exp}\circ \eta)(x) $$ es una involución anti-$J'$-holomorfa (aquí $\exp$ está definido con respecto a alguna métrica riemanniana en $M$). ¿Cómo puedo mostrar la existencia/no existencia de $\eta$?

Answer 1

Al menos en el caso bidimensional, tus deformaciones de una estructura compleja dada producen todas las estructuras complejas en la superficie orientada dada. (Una prueba de esto es un ejercicio de álgebra lineal donde analizas endomorfismos de un espacio vectorial real bidimensional.) Sin embargo, con pocas excepciones (entre superficies compactas, la única excepción es la esfera), una estructura compleja genérica en una superficie no admite automorfismos anti-holomorfos (ver abajo). Por lo tanto, tu $\phi'$ genéricamente no existe.

Editar. Verifiquemos que una curva elíptica suave genérica (también conocida como toro real plano 2-dimensional) no tiene automorfismos antiholomorfos. Sea $T^2$ un toro plano de área unitaria. Una involución antiholomorfa $h$ de $T^2$ es una isometría de la métrica plana que invierte la orientación. Si $h$ tiene conjunto de puntos fijos no vacío, entonces es la unión de dos círculos geodésicos paralelos en $T^2$ que dividen $T^2$ en dos anillos isométricos $A_1, A_2$ (intercambiados por $h$). El tipo conforme de $T^2$ está determinado de forma única por el módulo de $A_1$, que es un único número real. Por lo tanto, el espacio de toros planos de área unitaria que admiten tal involución es de 1 dimensión real. La segunda posibilidad es que $h$ actúe libremente sobre $T^2$ y el cociente sea la botella de Klein. El espacio de los gérmenes de botellas de Klein planas de área fija es también de 1 dimensión real. (Demostrar esto requiere un poco de trabajo). Por otro lado, el espacio de módulos de curvas elípticas es de una dimensión compleja. Por lo tanto, una curva elíptica genérica no tiene involuciones antiholomorfas. (En realidad se puede hacer algo mejor: El espacio de módulos de $T^2$ es la línea compleja con dos puntos marcados correspondientes a curvas elípticas con grupos de simetrías holomorfas extras. Entonces, el conjunto de curvas elípticas que admiten una involución antiholomorfa es la única línea real que pasa por estos dos puntos marcados).

La prueba en el caso de género superior es similar en cuanto a contar dimensiones. El espacio de módulos de superficies de Riemann compactas de género $g$ tiene dimensión $3g-3$. Por otro lado, si $h: S\to S$ es una involución antiholomorfa de una superficie de género $g$ con conjunto de puntos fijos no vacío $F$, entonces $S$ está determinado por el tipo conforme de un componente $C$ de $S-F$. Tienes que $\chi(S)=2\chi(C)$. Luego calculas la dimensión del espacio de módulos de $C$, que es igual a $3g'-3+2p$ donde $g'$ es el género de $C$ y $p$ es el número de componentes de $F$. Con la fórmula de la característica de Euler anterior, obtienes: $2- 2g = 2(2g'-p+2)$. Luego haces un cálculo y concluyes que $3g'-3+2p$ es estrictamente menor que $3g-3$. La prueba cuando $h$ no tiene puntos fijos es un conteo de dimensiones similar.