Identificación de $\mathbb F_2[X]/(X^4+X+1)$

Question

Como se menciona en el título me gustaría mostrar que podemos identificar $\mathbb F_2[X]/(X^4+X+1)$ con el conjunto $K$ de polinomios: $p_0+p_1 a+p_2a^2+p_3 a^3$ en una variable $a$ que suponemos satisface $a^4+a+1=0$ .

Si tienes alguna idea que me pueda ayudar sería genial.

Answer 1

Esta es una construcción muy general:

1. Dejemos que $\mathbb F$ sea un campo cualquiera y $p(X)\in \mathbb F[X]$ . El anillo de cociente $R=\mathbb F[X]/(p(x))$ se compone de elementos de la forma $q(X)+I$ , donde $I=(p(X))$ .
2. Ahora, puedes utilizar el algoritmo de división de polinomios y obtener que $q(X)=p(X)\cdot t(X)+r(X)$ para un único polinomio $r(X)$ de grado menor que el grado de $p(X)$ . Por lo tanto, se deduce que cada elemento de $R$ es equivalente a algún elemento de la forma $r(X)+I$ , donde $\deg(r)<\deg(p)$ .
3. Una comprobación directa muestra que no hay dos elementos equivalentes, por lo que el conjunto $R$ puede identificarse con el conjunto de polinomios $r(X)\in \mathbb F[X]$ de grado menor que el grado de $p(X)$ . Las operaciones del anillo vienen dadas por la suma y la multiplicación en los representantes, y luego se toman módulo $I$ .
4. Una comprobación directa muestra que el elemento $\alpha = X+p(X)$ en $R$ satisface la ecuación $p(x)=0$ .