Por qué, conceptualmente, es que $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$?

Question

Por qué, conceptualmente, es que $$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}?$$ sé cómo probar que esto es cierto, pero no entiendo conceptualmente por qué tiene sentido.

Answer 1

Debido a que el número de maneras en que podemos hacer un equipo de un tamaño determinado es igual al número de formas en que podemos hacer un equipo del mismo tamaño sin Fred, más el número de maneras en que podemos hacer un equipo de tamaño más pequeño, además de Fred.

Answer 2

El número de la combinación que elijamos $r$ de las personas de $n$ de la gente es la suma de la cantidad de la combinación de que una persona de nombre $A$ está incluido y el número de la combinación que $A$ no está incluido.

Answer 3

Seguro. Usted está dividiendo en 2 casos. Por un lado estás diciendo que yo estoy atascado la elección de este elemento por aquí. Así que ahora tengo el r-1 más opciones para hacer de n-1 de las cosas. En el otro caso, te estás negando a ese elemento. Ahora que has eliminado una opción, pero todavía debe escoger r elementos. Estos dos casos son exhaustivos y excluyentes.

Answer 4

Otra manera sencilla de ver esto es triángulo de Pascal. Esto es simplemente una formulación de la regla que gobierna el triángulo -- entrada es la suma de las dos entradas anteriores. El $i$-ésima en el $n$-ésima fila es la suma de los $i-1$-ésima en el $n-1$-ésima fila y la $i$-ésima en el $n-1$-ésima fila. Por lo tanto, $$\binom{n-1}{i-1}+\binom{n-1}{i}=\binom{n}{i}$$

Answer 5

Considere la posibilidad de recoger $r$ objetos de un conjunto de $n$ de ellos. Elige un objeto en particular $O$. Su conjunto ha $O$, o no. Hay $\binom{n - 1}{r - 1}$ conjuntos con $O$, e $\binom{n - 1}{r}$ sets sin ella. (¿Por qué esos son verdaderas?) Así, hay $\binom{n - 1}{r - 1} + \binom{n - 1}{r}$ conjuntos de tamaño $r$.