Si el operador lineal $T^2 $ tiene un vector cíclico, entonces también lo tiene $T$

Question

Este es mi razonamiento:

$T^2$ tiene un vector cíclico si su polinomio mínimo y su polinomio característico son iguales. Polinomio mínimo de $T^2$ tiene grado $n$ . Por lo tanto, $T$ tiene un polinomio aniquilante de grado $2n$ y con variables con potencias pares.

Dado que el polinomio mínimo de $T$ divide el polinomio aniquilador que tiene potencias pares, las potencias de $x$ en el polinomio mínimo de $T$ tendrán la misma paridad. Si el polinomio mínimo de $T$ es $q(x)$ y deg q(x) < n , $q(x)q(x)=p'(x^2)$ y p' es un polinomio aniquilador de $T^2$ teniendo deg < n lo cual es una contradicción.

¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

No entiendo por qué pasar por todos los problemas. Vector $x$ es cíclico para $T$ si los vectores $T^nx$ abarcan todo el espacio. Claramente, los vectores de la forma $T^{2n}x$ son un subconjunto de estos.