Hace $\pi$ ¿contiene todo lo real?

Question

Se pueden generar expansiones decimales entre $0$ y $1$ tomando con el $m$ dígito de $\pi$ y luego tomar cada $n$ dígito.

$\pi = 3.141592653589793238462643383279502884197169399...$

por ejemplo, para $m=3$ , $n=5$ Esto será

3.1 4 1592 6 5358 9 7932 3 8462 6 4338 3 2795 0 2884 1 9716 9 399...

dando

$0.469363019...$

No veo por qué esto no debería ser capaz de crear cualquier número real. Pero si esto crea cualquier número real dado un par de números naturales $m$ y $n$ significaría que la cardinalidad del continuo es igual a la de los números naturales.

Así que supongo que este método no puede crear ningún real. ¿Pero por qué?

Answer 1

Básicamente se presenta un mapeo de $\mathbb N^2$ à $\mathbb R$ y preguntar si el mapeo es sobreyectivo. Como $\mathbb N^2$ es contable, y $\mathbb R$ es incontable, se puede hacer un simple argumento de diagonalización para mostrar que el mapeo no puede sea suryente.

En concreto, el argumento sería el siguiente:

1. Dejemos que $F$ sea el mapeo que se construye yendo de $\mathbb N^2$ à $[0,1]$ . Es decir, $F(m,n)$ es el número que se obtiene al tomar con el $m$ dígito de $\pi$ y luego tomar cada $n$ dígito.
2. Dejemos que $f:\mathbb N\to\mathbb N^2$ sea una función biyectiva. ( sabemos que tal función existe, y no importa realmente cuál tomemos ) y que $f_1,f_2$ sean sus componentes, es decir $f(n)=(f_1(n), f_2(n))$ .
3. Denote los dígitos de $F(f(n))$ como $a_i^{(n)}$ Es decir, $F(f(n)) = 0.a_1^{(n)}a_2^{(n)}a_3^{(n)}\dots$
4. Dejemos que $$b_i=\begin{cases}1 & \text{if } a_i^{(i)} = 0\\ 0& \text{if } a_i^{(i)} \neq 0\end{cases}$$
5. Dejemos que $b=0.b_1b_2b_3\dots$ . Evidentemente, para todos los $n\in\mathbb N$ vemos que $F(f(n))\neq b$ porque el $n$ -dígito de $F(f(n))$ no es lo mismo que el $n$ -dígito de $b$ .
6. Desde $5$ se deduce que el número $b$ no está en el dominio de $F\circ f$ .
7. Porque $f$ es biyectiva, concluimos que $b$ no está en el dominio de $F$ .