¿Cómo se resuelve el problema de Cauchy?

Question

Soy nuevo en este problema. Esta es la pregunta.

$$(y+xz)z_x+(x+yz)z_y=z^2-1$$

Encuentre la superficie integral que las curvas que pasa son $y=1$ y $z=x^2$

Por el sistema de Lagrange encontré $u$ y $v$ . Tenemos

$$\frac{dx}{y+xz}=\frac{dy}{x+yz}=\frac{dz}{z^2-1}$$

$$\frac{dx+dy}{(x+y)(z+1)}=\frac{dz}{z^2-1}$$

Supongamos que $x+y=t$ , $dx+dy=dt$

$$\frac{dt}{t}=\frac{dz}{z-1}$$

Si integramos ambos lados concluimos

$$u=\frac{x+y}{z-1}=c_{1}$$

$$\frac{dz}{z^{2}-1}=\frac{ydx-xdy}{x^{2}-y^{2}}=\frac{\frac{ydx-xdy}{y^{2}}}{(\frac{x}{y})^{2}}$$

Supongamos que $\dfrac{x}{y}=k$ . Entonces concluimos.

$$v=\log\left(\frac{z+1}{z-1}\right)+\frac{2y}{x}=c_{2}$$

¿Estoy en el camino correcto hasta ahora? ¿Qué hacer a continuación?

Answer 1

No entiendo cómo has obtenido la característica $v$ . Esta es mi solución $$\frac{dx-dy}{(x-y)(z-1)}=\frac{dz}{z^2-1}\Rightarrow v=\frac{x-y}{z+1}=c_{2}$$ Para encontrar la superficie integral por la que pasa la curva debemos parametrizar la curva, sea $x=t$ entonces $z=t^2$ y $y=1$ . Sustituyendo estos valores en $c_1$ y $c_2$ obtenemos $$\frac{t+1}{t^2-1}=c_1, \quad\frac{t-1}{t^2+1}=c_2. $$ Eleminando $t$ a partir de las ecuaciones anteriores $$\Rightarrow t=\frac{c_1+1}{c_1}$$ Obtenemos $$\Phi(c_1,c_2)=\frac{\frac{c_1+1}{c_1}-1}{(\frac{c_1+1}{c_1})^2+1}-c_2=0.$$ Ahora bien, si conectamos $c_1=\frac{x+y}{z-1}$ y $c_2=\frac{x-y}{z+1}$ en $\Phi$ podemos obtener la solución.