Importancia de $\cos(x)=2$

Question

Dejemos que $\cos(x) = 2.$

$e^{ix} + e^{-ix} = 4;$

Poner $e^{ix}=t.$

$$t^2 - 4t + 1 = 0 \iff t = 2 + \sqrt3 \vee 2 - \sqrt3;$$

$x = -i\log(2+\sqrt3)$ ou $-i\log(2-\sqrt3);$ donde $i^2 = -1.$

¿Cuál es el significado de este valor? Porque no hay ningún triángulo posible en el que la base sea el doble de la hipotenusa. ¿Significa esto que $\cos^{-1}(x)$ ¿es también una función como la función Zeta de Riemann en la que podemos extender el dominio de la función en el plano de Arganda?

Answer 1

Cuando al coseno se le añade un número imaginario, se convierte en un coseno hiperbólico:

$$\cos(ix) = \cosh(x)$$

Ningún factor de $i$ a la derecha es un coseno recto, hiperbólico.

Así, cuando se toma $\cos(-i \log(2 + \sqrt{3}))$ para obtener 2, esto equivale a tomar $\cosh(-\log(2 + \sqrt{3}))$ que también es igual a $\cosh(\log(2 + \sqrt{3}))$ desde $\cos$ y $\cosh$ están igualados.

Las funciones trigonométricas circulares $\cos(x)$ y $\sin(x)$ suelen interpretarse en términos de triángulo, pero la mejor manera de interpretarlos es que parametrizar el círculo por la longitud de arco Es decir, $(\cos(t), \sin(t))$ atraviesa el círculo a velocidad constante como $t$ avances.

Ahora, si estamos considerando entradas complejas, estas coordenadas se convierten en números complejos y la forma resultante es ahora una hoja en 4 dimensiones, no una curva en 2. Tomar "ángulos" imaginarios en la función nos lleva a otra parte de esta figura de 4 dimensiones que parece una hipérbola unitaria, no un círculo, y la interpretación de $\cosh(\log(2 + \sqrt{3}))$ geométricamente es el $x$ -coordenada de un punto de la hipérbola unitaria cuando ha recorrido la distancia $\log(2 + \sqrt{3})$ de longitud de arco a lo largo de la misma, y que al desplazarse esta distancia te deja en un $x$ -coordenada de 2. He encontrado esta figura en la web que lo ilustra.

(Imagen de dominio público de: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Hyperbolic_functions-2.svg )