Demuestra que $\mathfrak{so}(4)\cong \mathfrak{so}(3)\oplus \mathfrak{so}(3)$

Question

Quiero demostrar que $\mathfrak{so}(4)\cong \mathfrak{so}(3)\oplus \mathfrak{so}(3)$ . Sé que como los grupos de mentiras $SO(4)\cong (SU(2)\times SU(2))/\mathbb{Z}_2$ y que como $SU(2)/\mathbb{Z}_2 \cong SO(3)$ .

Mi idea para hacer esto era mostrar que $SO(4)\cong SU(2)\mathbb{Z}_2\times SU(2)/\mathbb{Z}_2$ y el resultado debería ser el siguiente. Pero el mapa de $(SU(2)\times SU(2))/\mathbb{Z}_2$ a $SU(2)\mathbb{Z}_2\times SU(2)/\mathbb{Z}_2$ sólo es sobreyectiva y no inyectiva. Por lo tanto, el mapa de $SO(4)$ a $SU(2)\mathbb{Z}_2\times SU(2)/\mathbb{Z}_2$ no es un isomorfismo.

¿Es este el enfoque equivocado o me he equivocado?

Answer 1

La estructura del álgebra de Lie sólo determina de forma única la componente conectada de la identidad de un grupo de Lie. Si se demuestra que el homomorfismo se restringe a un isomorfismo en la componente conexa de la identidad, entonces esto sería suficiente.

Pero, como se ha sugerido, tal vez sea más fácil hacer todo esto en el nivel de las álgebras de mentiras.