Dejemos que $Y_t$ sea un proceso gaussiano con $E[Y_t]=0$ y $Z=\frac{\int_0^1 Y_s ds}{\sqrt{V}}$ donde $V=Var(\int_0^1 Y_s ds)$ (por lo que Z tiene una distribución normal estándar). Quiero demostrar que condicionalmente en Z, $Y_t$ tiene una distribución gaussiana. Estoy pensando en demostrar que $(Y_t,Z)$ tiene una distribución gaussiana bidimensional, porque entonces $Y_t|Z$ tiene una distribución gaussiana. Agradecería cualquier idea. Gracias de antemano.
Respuesta
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Sí, uno sabe por principios generales que, para cada fijo $t$ La pareja al azar $(Y_t,Z)$ es una función lineal del proceso gaussiano $(Y_s)_{0\leqslant s\leqslant1}$ por lo que $(Y_t,Z)$ es normal.
Dejemos que $C$ denotan la covarianza del proceso $(Y_s)_{0\leqslant s\leqslant1}$ Es decir, $C(u,v)=E(Y_uY_v)$ por cada $(u,v)$ entonces $(Y_t,Z)$ está centrado, además, $E(Y_t^2)=C(t,t)$ , $E(Z^2)=A/V$ y $E(Y_tZ)=B_t/\sqrt{V}$ donde $$A=\iint_{[0,1]^2}C(u,v)\mathrm du\mathrm dv,\qquad B_t=\int_0^1C(t,u)\mathrm du,$$ por lo que $$E(Y_t\mid Z)=(\sqrt{V}\,A^{-1}\,B_t)\cdot Z.$$
