Axiomas de Peano: Filosofía Matemática

Question

En Axiomas de Peano, ¿por qué es necesario definir el número y el sucesor? ¿No utilizarlos implica que sabemos lo que significan? ¿O podrían haber sido igualmente dos términos arbitrarios que no estén asociados con "números", digamos widget y descendiente respectivamente? Donde al tener lo siguiente:

• 0 es un widget
• El descendiente de cada widget es un widget
• …

Dados los axiomas, ¿debemos asumir que estamos en el punto de partida en el que no sabemos nada sobre los números (análogo al descubrimiento de un elemento) o, ya sabemos cómo funcionan los números y los axiomas simplemente describen su comportamiento?

Suponiendo que no sabemos qué significa sucesor (porque tiene que ser definido), ¿por qué no es necesario incluir en los axiomas que cada número tiene un sucesor?

Answer 1

Te sugiero que leas el artículo de Peano (1889). Puedes ver la traducción al inglés en :

• Jean van Heijenoort (editor), From Frege to Gödel : A Source Book in Mathematical Logic(1967), página 83 en adelante :

Entre los signos [es decir, conceptos] de la aritmética, aquellos que pueden expresarse mediante otros signos de aritmética junto con los signos de lógica representan las ideas que podemos definir.

Por lo tanto, he definido todos los signos excepto los cuatro que están contenidos en las explicaciones de §1 [Los conceptos aritméticos primitivos, es decir, no definidos, son: "número", "uno", "sucesor" y "es igual a"].

Si, como pienso, estos no pueden reducirse más, no es posible definir las ideas expresadas por ellos a través de ideas asumidas como conocidas previamente.

Las proposiciones que se deducen de otras mediante las operaciones de la lógica son teoremas; las proposiciones que no se deducen de esta manera las he llamado axiomas. Hay nueve [cuatro relacionados con "igualdad" y cinco "aritméticos"] de estos axiomas (§1), y expresan las propiedades fundamentales de los signos que carecen de definición [énfasis mío].

Por lo tanto, omitiendo "es igual a", que hoy preferimos clasificar entre los conceptos lógicos, los conceptos primitivos de "número", "uno", "sucesor" son indefinidos.

Los axiomas aritméticos son :

$1 \in \mathbb N$ : $1$ es un número

$a \in \mathbb N \to a+1 \in \mathbb N$ : el sucesor de cualquier número es un número

$a,b \in \mathbb N \to (a=b \leftrightarrow a+1 = b+1)$ : dos números son iguales si y solo si sus sucesores son iguales

$a \in \mathbb N \to \lnot (a + 1 = 1)$ : $1$ no es el sucesor de ningún número

y el axioma de inducción.

Answer 2

Se puede hacer cualquiera de las siguientes elecciones: interpretar los axiomas de Peano como (1) afirmaciones sobre números reales de los cuales tenemos algún conocimiento previo, o (2) una lista de axiomas para una teoría lógica, en la cual es igual de válido llamar a un elemento un "widget" que un número. En el caso (2) tenemos que explicar por qué diablos elegimos estos axiomas en particular, y la explicación es que los axiomas abstraen ciertas propiedades de objetos del mundo real que observamos repetidamente. Por otro lado, muchas personas han sido sospechosas sobre el tipo de afirmación en (1) de que podemos tener conocimiento directo y pre-lógico de los números naturales, en cuyo caso se requiere un enfoque más formal como en el caso (2).

Answer 3

Muchas propiedades de los números naturales eran conocidas durante siglos antes de Peano. Dedekind y Peano, a fines del siglo XIX se propusieron identificar sus propiedades esenciales a partir de las cuales, se esperaba, todas las demás pudieran derivarse. Fueron tan exitosos en este sentido, que, para todos los propósitos prácticos, los axiomas de Peano han llegado a definir los números naturales. A partir de estos axiomas, junto con los axiomas de la teoría de conjuntos, podemos construir las funciones de suma, multiplicación y exponentiación. De igual manera, podemos construir los números enteros, racionales, reales y complejos junto con las operaciones aritméticas asociadas con estos sistemas numéricos.

Los Axiomas de Peano son realmente muy intuitivos. Aquí presento una versión moderna y teórica de conjuntos.

Comenzamos con un conjunto $\mathbb{N}$.

1. $0$ es un número: $$0\in\mathbb{N}$$

2. Para cada número existe un sucesor único, es decir, tenemos una función $S$ tal que: $$\forall x\in \mathbb{N}: S(x)\in \mathbb{N}$$

3. Si dos números $x$ e $y$ tienen el mismo sucesor, entonces $x=y$: $$\forall x,y \in\mathbb{N}: [S(x)=S(y)\implies x=y]$$

4. Ningún número tiene un sucesor de $0$: $$\forall x\in\mathbb{N}:S(x)\ne 0$$

5. Sea $P$ cualquier subconjunto de $\mathbb{N}$. Supongamos que $0\in P$. Supongamos además que si $k\in P$ entonces $S(k)\in P$. Entonces cada número está en el conjunto $P$:

$$\forall P\subset \mathbb{N}:[[0\in P \land \forall k\in P: S(k)\in P]\implies \forall x\in \mathbb{N}: x\in P]$$

Answer 4

Cuando se trata de ello, no puedes tener una base matemática sin algún tipo de aceptación de los números naturales como conocimiento evidente por sí mismo. Casi toda la matemática se lleva a cabo con una base en la lógica de primer orden, siendo la mayoría de las bases teorías de primer orden de algún tipo. Sin embargo, si aceptas la lógica de primer orden, estás aceptando implícitamente los números naturales. La estructura de los números naturales está incrustada en la lógica de primer orden de muchas maneras, doy un ejemplo aquí.

Toma por ejemplo la afirmación ∃x,y∀z( y∈x & (z∈x->y=z) ). Esto significa que existe un elemento x tal que existe exactamente un elemento y tal que y∈x. Nota que esta afirmación no se basa en ninguna teoría de primer orden, simplemente es una afirmación en la lógica de primer orden en general. Luego hay una afirmación en la lógica de primer orden (nuevamente, el lenguaje en general, no una teoría axiomatizada en ella), que captura la noción de '1'. De igual manera, ∃x,y,z∀w( y∈x & z∈x & y≠z & (w∈x->w=y V w=z)) captura la noción de '2' (hay exactamente 2 elementos en x). Esto se puede hacer para todos los números naturales (0 puede ser representado por ∃x∀y(y∉x)).

La adición se puede ver en la lógica de primer orden en general como (tomando 1+2 como ejemplo):

∃x,y,z[ ∃a∀b(a∈y&(b∈y->a=b)) & ∃a,b∀c(a∈z&b∈z&a≠b&(c∈z->c=a V c=b)) & (a)~(a∈y&a∈z) & (a)(a∈x <-> a∈y V a∈z ) ]

Esto dice que hay exactamente un elemento en y (en el sentido de que hay exactamente un a tal que a∈y), y hay exactamente 2 elementos en z. Además, y z son disjuntos, y x es su unión. Luego x contiene 1+2 elementos. La lógica de primer orden permite una prueba de que x consecuentemente tiene 3 elementos en el mismo sentido que se describió anteriormente.

La multiplicación es más complicada, así que solo la esbozaré. Para representar k = m*n, afirma que x tiene m elementos, y afirma que cada uno de estos tiene n elementos, y que los elementos de x son disjuntos. Luego afirma que y tiene precisamente aquellos elementos que están contenidos en elementos de x. Luego y tiene k=m*n elementos. Nuevamente, la lógica de primer orden permite una prueba de que y tiene k elementos en el sentido directo dado anteriormente.

De esta manera, la lógica de primer orden exhibe toda la complejidad de los enteros bajo las operaciones '<', '+', y 'x' ('<' puede codificarse de manera similar). De hecho, mucha más complejidad que esta está contenida en la lógica de primer orden, sin ninguna teoría axiomatizada. Los análogos de los axiomas de Peano asociados con la discusión anterior no pueden ser demostrados a partir de la lógica de primer orden en general, ya que no se permite la cuantificación sobre fórmulas, pero se pueden dar esquemas muy precisos y formales que producen inmediatamente pruebas de cada instancia expresable de los axiomas de Peano, y por lo tanto los axiomas están, en la medida en que son expresables, disponibles.

El punto de todo esto es que si aceptas la lógica de primer orden en absoluto, ya has aceptado un sistema que tiene una estructura más compleja que la estructura de los números naturales bajo las operaciones básicas.

Así que, aunque puedas decir que al principio de tu desarrollo matemático no sabes nada de los números naturales, tal perspectiva contradice la aceptación del propio lenguaje en el que se escribirán los Axiomas de Peano. Así que, la realidad es que, de una forma u otra, aceptamos los números naturales como conocimiento evidente por sí mismo. Cualquier persona que diga lo contrario y que suponga que cualquier teoría de primer orden encarna una verdad evidente por sí misma está aceptando los enteros como evidentes sin darse cuenta.

Answer 5

Borra de tu mente toda comprensión de los números y comienza (casi) desde la puerta de inicio filosófica. Aquí presentamos la respuesta del 'widget', creando los números naturales.

Por lo tanto, al enfrentarnos al concepto de infinito, creamos una máquina abstracta como se muestra aquí:

La máquina recibe una regla y la extiende conectando la entrada a una extensión con un remache (ambos suministrados por la máquina).

Si consideramos la colección de todas las reglas, la máquina asignará a cada una otra, pero el $\mathsf |$, la 'semilla' inicial, no se verá como una salida.

Ok, este experimento mental nos da la confianza de que podemos 'abstraernos', utilizando el marco de la teoría de conjuntos.

Definición: Una Máquina de Empuje Dedekind Entlang es una tupla $(f, X, n_0)$ con
$f: X \to X$ una función inyectiva tal que $n_0 \in X$ pero $n_0 \notin f(X)$.

Axioma: Existe una Máquina de Empuje Dedekind Entlang.

Aquí viene el aspecto asombroso de esto: dentro de una Máquina de Empuje Dedekind Entlang se encuentra una 'copia' de la Máquina de Creación de Reglas.

Proposición 1: Sea $(f, X, n_0)$ una Máquina de Empuje Dedekind Entlang. Entonces existirá un subconjunto $N$ de $X$ con las siguientes propiedades

$\tag a \text{La restricción } (f, N, n_0) \text{ es otra Máquina de Empuje Dedekind Entlang}$

$\tag b \text{Si } M \subset N \text{ y } (f, M, n_0) \text{ es una Máquina de Empuje Dedekind Entlang, entonces } M = N$

Prueba
Simplemente dejemos que $N$ sea la intersección de todos los subconjuntos $L$ contenidos en $X$ y definiendo una máquina restringida, $(f, L, n_0)$. $\blacksquare$

Para este conjunto mínimo $N$ usaremos el símbolo $\sigma$ para la función restringida $f$.

La función $\sigma: N \to N$ satisface

$\tag 1 \sigma \text{ es una inyección}$
$\tag 2 n_0 \in N \text{ pero } n_0 \notin \sigma(N)$
$\tag 3 \text{Si } K \subset N \text{ y } n_0 \in K \text{ y } \sigma(K) \subset K \text{ entonces } K = N$

Observamos que $\text{(3)}$ simplemente establece que $N$ es el conjunto mínimo que se puede extraer de $X$ para crear una Máquina de Empuje Dedekind Entlang $(\sigma, N, n_0)$. Pero esto también es el conocido principio de inducción.

Si continuamos estudiando este objeto, veremos que podemos definir la adición y la multiplicación (ver Apéndice I del Álgebra Universitaria de Serge Lang) en $N$ y que $\text{(1)}$, $\text{(2)}$ y $\text{(3)}$ hacen que cualquier par de tales creaciones abstractas sean isomorfas.

¡Así que lo tenemos - los números naturales $\mathbb N$!

El beneficio de este enfoque abstracto es que no tenemos que describir la suma de dos piezas de reglas juntas (eh, si ambas piezas son mayores que $\mathsf |$, ¡sacamos ese remache y ...).