Integrar $\int_{0}^{2\pi}e^{-[a\cos(2\psi)+b\cos(\psi)]}d\psi$ y $\int_{0}^{2\pi}e^{-[a\cos(\phi+\psi)+b\cos(\phi-\psi)]}d\psi$

Question

Estoy tratando de determinar las siguientes integrales: $$\int_{0}^{2\pi}e^{-[a\cos(2\psi)+b\cos(\psi)]}d\psi$$ y $$\int_{0}^{2\pi}e^{-[a\cos(\phi+\psi)+b\cos(\phi-\psi)]}d\psi.$$ Integrales similares pueden resolverse mediante la función de Bessel modificada del primer tipo y de orden cero. ¡Se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

La primera integral puede expresarse como una serie de productos de funciones de Bessel modificadas. La Expansión de Jacobi-Anger para las funciones de Bessel modificadas del primer tipo lee \begin{equation} e^{z\cos\theta}=I_{0}\left(z\right)+2\sum_{k=1}^{\infty}I_{k}\left(z\right)% \cos\left(k\theta\right) \end{equation} entonces \begin{align} e^{-[a\cos(2\psi)+b\cos(\psi)]}&=\left( I_{0}\left(-a\right)+2\sum_{k=1}^{\infty}I_{k}\left(-a\right)\cos\left(2k\psi\right) \right)\left( I_{0}\left(-b\right)+2\sum_{m=1}^{\infty}I_{m}\left(-b\right)\cos\left(m\psi\right) \right)\\ &= I_{0}\left(a\right) I_{0}\left(b\right)+2 I_{0}\left(a\right)\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^mI_{m}\left(b\right)\cos\left(m\psi\right)\\ &\hspace{2cm}+2 I_{0}\left(b\right)\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^kI_{k}\left(a\right)\cos\left(2k\psi\right)\\ &\hspace{2cm}+4\sum_{k,m=1}^{\infty}(-1)^{k+m}I_{k}\left(a\right)I_{m}\left(b\right)\cos\left(2k\psi\right)\cos\left(m\psi\right) \end{align} Tras la integración sobre $(0,2\pi)$ la segunda y la tercera serie desaparecen, mientras que en la doble suma sólo desaparecen los términos con $m=2k$ sobrevivir con \begin{equation} \int_0^{2\pi}\cos^22k\psi\,d\psi=\pi \end{equation} Puis \begin{align} I_1&=\int_{0}^{2\pi}e^{-[a\cos(2\psi)+b\cos(\psi)]}\,d\psi\\ &=2\pi I_{0}\left(a\right) I_{0}\left(b\right)+4\pi\sum_{k=1}^\infty(-1)^kI_{k}\left(a\right)I_{2k}\left(b\right) \end{align} Este resultado y muchos otros similares se obtienen en el marco de la generalización de las funciones de Bessel a varias variables (véase Gupta o los numerosos trabajos de Dattoli por ejemplo).

La segunda integral se puede poner en una forma cerrada, observando que se puede transformar \begin{align} a\cos(\phi+\psi)+b\cos(\phi-\psi)&=(a+b)\cos\phi\cos\psi-(a-b)\sin\phi\sin\psi\\ &=\Delta\left(\frac{(a+b)\cos\phi}{\Delta} \cos\psi- \frac{(a-b)\sin\phi}{\Delta}\sin\psi\right) \end{align} donde \begin{align} \Delta&=\sqrt{(a+b)^2\cos^2\phi+(a-b)^2\sin^2\phi }\\ &=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos2\phi} \end{align} Entonces, definiendo un ángulo $0\le\theta<\pi$ por $\tan\theta=\frac{a-b}{a+b}\tan\phi$ la integral es \begin{align} I_2&=\int_{0}^{2\pi}e^{-[a\cos(\phi+\psi)+b\cos(\phi-\psi)]}\,d\psi\\ &=\int_{0}^{2\pi}e^{-\Delta(\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\cos\phi)}\,d\psi\\ &=\int_{0}^{2\pi}e^{-\Delta\cos(\psi+\theta)}\,d\psi\\ &=\int_{0}^{2\pi}e^{-\Delta\cos\psi}\,d\psi\\ =&2\int_{0}^{\pi}e^{-\Delta\cos\psi}\,d\psi \end{align} donde la variable de integración fue desplazada, ya que el dominio de integración cubre un período de la función y donde utilizamos la simetría del integrando. A partir de la representación integral para la función de Bessel modificada del primer tipo y de orden $0$ : \begin{align} I_{0}\left(\Delta\right)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{\pm \Delta\cos\psi} \theta\,d\psi \end{align} deducimos \begin{equation} I_2=2\pi I_0\left(\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos2\phi} \right) \end{equation}