Condición suficiente para que una cadena de Markov con matriz de transición tridiagonal sea recurrente nula

Question

Consideremos el paseo aleatorio inducido por la matriz de Markov \begin{equation} \begin{Vmatrix}P_{ij}\end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix} r_0 & p_0 & 0 & 0 & \cdots \\ q_1 & r_1 & p_1 & 0 & \cdots \\ 0 & q_2 & r_2 & p_2 & \cdots \\ \end{Vmatrix} \end{equation} Dejemos que \begin{equation} \pi_0=1,\pi_n=\frac{p_0p_1\cdots p_{n-1}}{q_1q_2\cdots q_n}. \end{equation} Supongamos que la cadena de Markov es recurrente. Demuestre que \begin{equation} \sum^\infty_{i=0}\pi_i=\infty\Longrightarrow\mathrm{null\;reccurent} \end{equation} \begin{equation} \sum^\infty_{i=0}\pi_i<\infty\Longrightarrow\mathrm{positive\;reccurent} \end{equation}

No tengo ni idea. Por favor, dame una pista.

Answer 1

Si $\lim_{n\rightarrow\infty}P^n_{ii}=b_i>0$ para uno $i$ en una clase recurrente aperiódica, entonces $b_j>0$ para todos $j$ en la clase de $i$ . En este caso, llamamos a la clase recurrente positiva o fuertemente ergódica. Si cada $b_i=0$ y la clase es recurrente hablamos de la clase como recurrente nula o débilmente ergódica.

Teorema En una clase aperiódica recurrente positiva con estados $j=0,1,2,\cdots$ , \begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty}P^n_{jj}=b_j=\sum^\infty_{i=0}b_iP_{ij},\;\sum^\infty_{i=0}b_i=1 \end{equation} y el $b$ están determinadas de forma única por el conjunto de ecuaciones \begin{equation} b_i\geq0,\;\sum^\infty_{i=0}b_i=1,\;\mathrm{and}\;b_j=\sum^\infty_{i=0}b_iP_{ij} \end{equation}

Investigamos la existencia de una distribución de probabilidad estacionaria, es decir, deseamos determinar las soluciones positivas de \begin{equation} (p_i+q_i)x_i=\sum^\infty_{j=0}x_jP_{ji}=p_{i-1}x_{i-1}+q_{i+1}x_{i+1},\;i=0,1,\cdots,\;(1) \end{equation} bajo la normalización \begin{equation} \sum^\infty_{i=0}x_i=1, \end{equation} donde $p_{-1}=0$ y por lo tanto $x_0=q_1x_1+r_0x_0$ . Utilizando la ecuación (1) para $i=1$ Podríamos determinar $x_2$ en términos de $x_0$ . Ecuación (1) para $i=2$ determina $x_3$ en términos de $x_0$ etc. Se comprueba inmediatamente que \begin{equation} x_i=\frac{p_{i-1}p_{i-2}\cdots p_0}{q_iq_{i-1}\cdots q_1}x_0=x_0\pi_i,\;i\geq1, \end{equation} es una solución de (1), con $x_0$ aún por determinar. Ahora bien, desde \begin{equation} 1=x_0+\sum^\infty_{i=1}x_0\pi_i=\sum^\infty_{i=0}x_0\pi_i, \end{equation} tenemos \begin{equation} x_0=\frac{1}{\sum^\infty_{i=0}x_0\pi_i} \end{equation} y así \begin{equation} x_0>0\;\mathrm{if\;and\;only\;if}\;\sum^\infty_{i=0}x_0\pi_i<\infty. \end{equation}

Combinando este resultado, la definición y el teorema, obtenemos la condición suficiente deseada.