Intuición física sorprendente y útil para los objetos matemáticos

Question

Creo que I.M. Gelfand dijo que cuando se empieza a aprender un nuevo tema, hay que aprenderlo como un físico.

Con este espíritu, ¿cuáles son algunas intuiciones físicas útiles y sorprendentes que acompañan a los objetos matemáticos?

Me interesan especialmente las intuiciones que sugieren buenas pruebas... y nuevas formas útiles de pensar.

Answer 1

No sé si has oído hablar de esto antes, pero hay una prueba física extremadamente elegante de la existencia y las propiedades del punto de Fermat. Incluso ilustra la degeneración que empieza a producirse para los ángulos más grandes como mínimo $2\pi/3$ .

Considere su triángulo deseado como una hoja plana y resistente. Haz muescas muy pequeñas en los vértices. Ahora toma tres cuerdas ideales y en un extremo de cada una fija bolas idénticas. Une los tres extremos libres. Coloca la configuración cuerda-bola en la parte superior del triángulo y desliza cada una de las cuerdas por las muescas. Deja que las bolas cuelguen del triángulo.

Ahora, deja que el sistema asuma su energía potencial mínima. La intersección de las cuerdas se moverá para minimizar la suma de las distancias a los vértices, ya que la energía potencial es lineal en la altura. Así que la intersección se moverá al punto de Fermat.

Pero aquí está la parte complicada. Como la intersección se estabiliza, sabemos que las fuerzas sobre ella deben ser nulas. Todas las fuerzas tienen la misma magnitud, por lo que si todas son nulas deben tener ángulos iguales entre ellas. Así que las líneas desde el punto de Fermat X a los vértices del triángulo ABC satisfacer $\angle AXB = \angle BXC = \angle CXA = 2\pi/3$ .

Por supuesto, esto sugiere que en un triángulo convenientemente obtuso la intersección caerá justo a través de una de las muescas, y de hecho para ángulos mayores que $2\pi/3$ el punto de Fermat está en el ángulo más grande.

           

Answer 2

Veo la Teorema de Gauss-Bonnet para una superficie sin límites a través de la analogía física de que si empujas una abolladura en una superficie maleable, o la aprietas, la superficie debe compensar curvándose en otra parte para mantener $2 \pi \chi$ .
         

Answer 3

Kirillov's método orbital en teoría de la representación establece una correspondencia (que no es exacta en general) entre representaciones unitarias irreducibles de un grupo de Lie $G$ y las órbitas de la acción de $G$ en el dual de su álgebra de Lie $\mathfrak{g}^{\ast}$ . La intuición física detrás del método de las órbitas proviene de la noción de cuantificación de un sistema clásico: la idea aproximada, según entiendo, es que las órbitas de la acción de $G$ en $\mathfrak{g}^{\ast}$ deben considerarse como sistemas clásicos con $G$ -y las correspondientes representaciones irreducibles de $G$ deben ser considerados como los sistemas cuánticos correspondientes.

Answer 4

Bueno, por supuesto hay muchos ejemplos, pero quizás el de Dirac $\delta$ -función es la más llamativa. Con bastante violencia para las matemáticas del cálculo habitual, la idea de Dirac resultó ser extremadamente útil: la "función" en todas partes cero y muy alta en $0$ para que la integral sea $1$ . Las aplicaciones van desde el análisis de Fourier, las EDP (lineales), la mecánica cuántica y muchas más. Ahora, por supuesto, sabemos cómo hacer las cosas rigurosas en el marco de la función de prueba de Schwartz y la teoría de la distribución. Pero la intuición proviene claramente de la física.

Similar y también en este marco es la noción de integrales oscilantes...

Answer 5

Sr. McGuire: Benjamín.

Benjamín: Sr. McGuire.

Sr. McGuire: Benjamín.

Benjamín: Sr. McGuire.

Sr. McGuire: Quiero decirte dos palabras.

Benjamín: Sí, señor.

Sr. McGuire: ¿Estás escuchando?

Benjamín: Sí, así es.

Sr. McGuire: Integrales de trayectoria.