Calcular la suma telescópica de los coeficientes binomiales

Question

¿Existe una forma bonita o sencilla para una suma de la siguiente forma? $$ 1 + \sum_{i=1}^k \binom{n-1+i}{i} - \binom{n-1+i}{i-1}$$

Motivación: Debido a un cálculo en el formalismo del cálculo de Schubert la suma anterior con $k = \lceil n/2 \rceil -1$ es igual al número de líneas que se cruzan $2n-4$ subespacios generales $H_j\subseteq \mathbb{P}^n$ de dimensión $n-2$ .

Answer 1

Sugerencia

El siguiente método no utiliza series telescópicas sino que hace uso del teorema elemental del binomio junto con alguna progresión geométrica para llegar a la respuesta.

$$\begin{aligned}S&=\sum_{i=1}^{k}{n-1+i\choose n-1}-\sum_{i=1}^{k}{n-1+i\choose n}\\&=\left(\text{coeff. of } x^{n-1} \text{ in } \sum_{i=1}^{k}(1+x)^{n-1+i}\right)-\left(\text{coeff. of } x^{n} \text{ in } \sum_{i=1}^{k}(1+x)^{n-1+i}\right)\end{aligned}$$

Answer 2

No es necesario utilizar una herramienta eléctrica cuando una herramienta manual es suficiente.

La identidad del palo de hockey:

$$ \sum_{i=0}^k \binom{n+i}{i} = \binom{n+k+1}{k} $$

Aplicando a nuestra expresión:

$$ 1 + \sum_{i=1}^k \binom{n-1+i}{i} - \binom{n-1+i}{i-1} \\ 1 + \sum_{i=1}^k \binom{n-1+i}{i} - \sum_{i=1}^k \binom{n-1+i}{i-1} \\ 1 - \binom{n-1}{0} + \sum_{i=0}^k \binom{n-1+i}{i} - \sum_{i=0}^k \binom{n+i}{i} \\ \sum_{i=0}^k \binom{n-1+i}{i} - \sum_{i=0}^k \binom{n+i}{i} \\ \binom{n+k}{k} - \binom{n+k+1}{k} \\ \binom{n+k}{k} - \left(\binom{n+k}{k-1}+\binom{n+k}{k}\right) \\ -\binom{n+k}{k-1} $$