Intuición para la no incrustación isométrica del plano proyectivo redondo en $\mathbb{R}^4 $

Question

Esto ha estado en MSE durante más de un mes con cuatro upvotes pero sin respuestas o incluso comentarios así que estoy cruzando el post:

Según Ejemplos de variedades riemannianas bidimensionales que no pueden ser incrustadas isométricamente en $\mathbb{R}^4$ no existe una incrustación isométrica suave del plano proyectivo redondo (=curvatura positiva constante) en $ \mathbb{R}^4 $ .

¿Hay alguna intuición de por qué hay una incrustación isométrica suave en $ \mathbb{R}^5 $ e incluso en redondo $ S^4 $ pero no en $ \mathbb{R}^4 $ ?

Algunas cosas ya las sé:

• Existe una incrustación isométrica de la ronda $ \mathbb{R}P^n $ en $ \mathbb{R}^{N} $ donde $ N=\frac{n(n+3)}{2} $

• Esta incrustación es equivariante con respecto al grupo de isometría $ O_{n+1} $ al menos para $ n=1,2 $ . De hecho, la imagen de la incrustación surge como la órbita de un vector con respecto a un $ N $ representación ortogonal irreducible de dimensión real de $ O_{n+1} $ .

• Es una cuestión abierta si existe una $ C^r $ la incrustación de $ \mathbb{R}P^2 $ en $ \mathbb{R}^4 $ para $ 1 < r <2 $

Answer 1

No estoy seguro de qué aceptarías como "intuición" para este resultado. En realidad es una simple consecuencia de dos hechos, que en realidad demuestran algo mucho más fuerte:

El primer hecho es que, para cualquier superficie lisa $S\subset\mathbb{R}^n$ con curvatura de Gauss positiva $K$ su vector de curvatura media $H$ no puede desaparecer. Esto es porque la ecuación de Gauss dice que para cualquier superficie lisa en el espacio plano, tenemos $K = |H|^2 - |I\!I_0|^2$ , donde $I\!I_0$ es la parte libre de trazas de la segunda forma fundamental. En particular, si $K>0$ en todas partes, entonces $H$ es un campo vectorial normal que no desaparece en ninguna parte de la superficie.

El segundo hecho es un viejo resultado de topología diferencial de Whitney que dice que, cuando $\mathbb{RP}^2$ se incrusta sin problemas en $\mathbb{R}^4$ su haz normal no tiene ninguna sección no evanescente (continua). Esto no es obvio; Whitney lo demostró utilizando su teoría de obstrucción para haces de esferas. Véase su Sobre la topología de las variedades diferenciables Lectures in Topology, University of Michigan Press, 1941.

Concediendo estos hechos, es inmediato que, para cualquier embdding suave de $\mathbb{RP}^2$ en $\mathbb{R}^4$ debe haber un punto de $\mathbb{RP}^2$ donde la métrica inducida tiene una curvatura de Gauss no positiva. A fortiori una métrica de constante curvatura de Gauss positiva en $\mathbb{RP}^2$ no se puede incrustar isométricamente en $\mathbb{R}^4$ . (Este es esencialmente el argumento que Gromov y Rohklin dan en el Apéndice 4 de su artículo de 1970 Incrustaciones e inmersiones en la geometría de Riemann Aunque su argumento para el primer hecho (a partir de la geometría diferencial) me parece menos inmediato que el uso de la ecuación de Gauss, como hice anteriormente. Pero, ojo al que mira, etc.)

Por lo que sé, sigue siendo un problema abierto si $\mathbb{RP}^2$ puede ser suavemente inmerso en $\mathbb{R}^4$ para que la métrica inducida tenga una curvatura de Gauss positiva (por no hablar de constante curvatura de Gauss positiva).