Tenía que demostrarlo: Para todos los conjuntos A y B, $A^c \cup (A \setminus B) = (A \cap B)^c$ .
A continuación se muestra lo que hice, pero estoy un poco atascado en el momento.
Así que empiezo por demostrar $A^c \cup (A \setminus B) \subseteq (A \cap B)^c$ .
Dejemos que $x \in A^c \cup (A \setminus B)$ .
Observe, por la ley de DeMorgan, $(A \cap B)^c$ = $A^c \cup B^c$ .
Entonces, $x \in A^c$ o $x \in A$ y $x \notin B$ .
Si $x \in A^c$ entonces $x \in A^c \cup B^c$ .
Si $x \in (A \setminus B)$ entonces $x \in A$ y $x \in B^c$ Por lo tanto $x \in A^c \cup B^c$ .
La izquierda es para probar $(A \cap B)^c \subseteq A^c \cup (A \setminus B)$ .
Dejemos que $x \in A^c \cup B^c$ .
Entonces, $x \in A^c$ o $x \in B^c$ .
Si $x \in A^c$ entonces $x \in A^c \cup (A \setminus B)$ .
Si $x \in B^c$ entonces
No creo que se pueda decir ahora que $x \in A \setminus B$ ¿podrías? Consideré la posibilidad de presentar un contraejemplo, ya que no pude averiguar lo que se me escapa, pero parece que no encuentro ninguno.
¡Se agradece cualquier ayuda! Gracias.
