Cómo completar la prueba de que $A^c\cup(A\setminus B)=(A\cap B)^c$ ?

Question

Tenía que demostrarlo: Para todos los conjuntos A y B, $A^c \cup (A \setminus B) = (A \cap B)^c$ .

A continuación se muestra lo que hice, pero estoy un poco atascado en el momento.

Así que empiezo por demostrar $A^c \cup (A \setminus B) \subseteq (A \cap B)^c$ .
Dejemos que $x \in A^c \cup (A \setminus B)$ .
Observe, por la ley de DeMorgan, $(A \cap B)^c$ = $A^c \cup B^c$ .
Entonces, $x \in A^c$ o $x \in A$ y $x \notin B$ .
Si $x \in A^c$ entonces $x \in A^c \cup B^c$ .
Si $x \in (A \setminus B)$ entonces $x \in A$ y $x \in B^c$ Por lo tanto $x \in A^c \cup B^c$ .

La izquierda es para probar $(A \cap B)^c \subseteq A^c \cup (A \setminus B)$ .
Dejemos que $x \in A^c \cup B^c$ .
Entonces, $x \in A^c$ o $x \in B^c$ .
Si $x \in A^c$ entonces $x \in A^c \cup (A \setminus B)$ .
Si $x \in B^c$ entonces

No creo que se pueda decir ahora que $x \in A \setminus B$ ¿podrías? Consideré la posibilidad de presentar un contraejemplo, ya que no pude averiguar lo que se me escapa, pero parece que no encuentro ninguno.

¡Se agradece cualquier ayuda! Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA: Ahora considere los dos casos, ya sea $x\in A$ o no lo es. Uno de ellos lo trataste tú. ¿Qué te da el otro?

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Respuesta completa: (Tras indicar en los comentarios que se ha entendido la indirecta) si $x\in B^c$ entonces $x\in B^c$ y $x\in A^c$ en cuyo caso ya sabemos que $x\in A^c\cup(A\setminus B)$ o $x\in B^c$ y $x\in A$ , en cuyo caso $x\in A\setminus B$ y la prueba se ha completado.