desigualdad de cola para las expectativas

Question

Me gustaría acotar la expectativa $$ \mathbb{E}[X \, \textbf{1}\{X > t\}], $$ donde $\textbf{I}\{p\}$ evalúa a $1$ si $p$ es cierto, $0$ en caso contrario, y $X$ es una variable aleatoria no negativa que puede suponerse subgaussiana.

El caso discreto es fácil, pero tengo problemas con el caso continuo. ¿Alguien conoce los resultados existentes o las desigualdades útiles para esto?

editar: asumir también que $\mathbb{E}[X] = \mu < \infty$

Answer 1

La estimación obvia $\mathbb E[X \; 1\{X>t\}] \le \mathbb E[X]$ es el mejor posible en el sentido de que es una igualdad si $\mathbb P(0 < X < t) = 0$ .

De forma algo más general, si $\mathbb E[X^p] < \infty$ avec $p \ge 1$ tienes $$\mathbb E[X \; 1\{X > t\}] \le t^{1-p} \mathbb E[X^p]$$

EDIT: Y, si la función generadora de momentos $M(s) = \mathbb E[e^{sX}] < \infty$ para algunos $s > 0$ Esto implica $$\mathbb E[X \; 1\{X > t\}] \le \dfrac{t}{e^{st}-1} (M(s) - 1)$$ así que esto te da un decaimiento exponencial.