¿Cómo puedo calcular el mínimo de la siguiente función no lineal?

Question

Estaba intentando resolver este problema del examen anterior de análisis funcional y estoy atascado

Clealy $ \inf_{f \in \mathcal{M}}\phi(f) \leq 0$ (puedo elegir f=0) Si calculo el infimo sobre el conjunto mayor $L_{\mathbb{R}}^2[-1,1]$ el infimo debe ser $-2/5$ . Esto se deduce de completar el cuadrado de la siguiente manera

$\phi(f)=\int_{-1}^{1}((f(x)-x^2)^2 -x^4)dx$ y como $x^2 \in L_{\mathbb{R}}^2[-1,1]$

Así que estoy seguro de que $\inf_{f \in \mathcal{M}} \phi(f) \in [-2/5,0]$ Me está costando mucho reducirlo a un número. El problema al que me enfrento es que el conjunto $\mathcal{M}$ contiene claramente funciones que no son necesariamente impar. Si las funciones fueran Impares podría concluir fácilmente que el ínfimo es 0.

¿Puede alguien ayudarme? Se agradecerá cualquier pista.

Answer 1

Desde $$ \phi(f) = \int_{-1}^1 (f(x)-x^2)^2 - x^4 \, dx = \int_{-1}^1 (f(x) - x^2)^2 \, dx - \int_{-1}^1 x^4 \, dx, $$ esencialmente quieres minimizar la primera integral. Pero la primera integral es la $L^2$ norma de $\|f-x^2\|$ al cuadrado. Tenemos una buena base de Hilbert para $L^2_{\mathbb R}([-1,1])$ y el subespacio de las funciones con integral cero quizás se descomponga bien con respecto a esta base... No he trabajado en los detalles, siéntase libre de hacer preguntas. Sólo pensé que esto era demasiado grande para un comentario.

Espero que eso ayude,

Answer 2

Sea g un funcional lineal continuo en un espacio de Banach B.Sea la norma de g G y sea el espacio nulo de g M. Si g no es cero entonces G tiene codimensión 1 en B. A partir de esto, y de la definición de G, el valor absoluto de g(x) es G d(f,M) para cualquier f en B, donde d(f,M) es la distancia de f a M. Así que si g(f) es la integral de f de -1 a 1, entonces G = sqrt(2) .Así que para la función f(x)=x2 , tenemos d(f,M) = 2/(5.sqrt(2)). Si combinamos esto con el trabajo de Patrick Da Silva, veremos que la inf en la pregunta es -1/5.