Derivada de una matriz con respecto a una matriz

Question

Tengo un producto matriz con $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m\times n}$ como $\mathbf{F(X)} = \mathbf{XAA}^T$ donde $\mathbf{A}$ es una matriz constante con respecto a $\mathbf{X}$ . Veo que puedo escribir lo siguiente según Wikipedia . $$ d\mathbf{F(X)} = (d\mathbf{X})\mathbf{AA}^T + \mathbf{X}d(\mathbf{AA}^T) = (d\mathbf{X})\mathbf{AA}^T $$

Desde aquí, puedo escribir, $$ \frac{d\mathbf{F(X)}}{d\mathbf{X}} = \mathbf{I}_{m\times n}\mathbf{AA}^T = \mathbf{AA}^T $$

Nótese que me he ayudado del hecho de que la derivada de un ${m\times n}$ matriz $\mathbf{A}$ con respecto a sí mismo es $\mathbf{I}_{m\times n}$ como se encuentra en la página 4 del Notas sobre el cálculo matricial de Paul L. Fackler . No estoy seguro de qué es exactamente $\mathbf{I}_{m\times n}$ es, pero lo estoy tomando como una especie de matriz de identidad generalizada y asumiendo que premultiplicando $\mathbf{AA}^T$ con $\mathbf{I}_{m\times n}$ resultados en $\mathbf{AA}^T$ sólo.

Así que, en resumen, mi pregunta es si puedo escribir $\frac{d\mathbf{F(X)}}{d\mathbf{X}}$ como $\mathbf{AA}^T$ ¿En este caso?

Answer 1

El diferencial es correcto $$\eqalign{ dF &= dX\,AA^T \cr &= I\,dX\,AA^T\cr }$$ Lo que normalmente hago en este punto es seguir la convención Magnus-Neudecker y aplicar vec() a ambos lados $$\eqalign{ {\rm vec}(dF) &= (AA^T\otimes I)\,{\rm vec}(dX) \cr d{\rm vec}(F) &= (AA^T\otimes I)\,\,d{\rm vec}(X) \cr\cr \frac {\partial\,{\rm vec}(F)} {\partial\,{\rm vec}(X)^T} &= AA^T\otimes I \cr }$$ Si no utiliza la vectorización, tendrá que lidiar con $\frac{\partial F}{\partial X}$ como un tensor de cuarto orden completo. En cuyo caso la notación de índice es la mejor manera de proceder.

En cualquier caso, el derivado no es definitivamente $AA^T$ que no es más que una matriz, es decir, un tensor de segundo orden.

Answer 2

La derivación (o linealización) de una función ya lineal es la propia función. De hecho, siguiendo la definición mantengamos el término h-lineal en $$ f(x+h)-f(x)=f(x)+f(h)-f(x)=f(h) $$ Por lo tanto, escribimos $$D_xf= f$$ En su caso, $D_XF=AA^T$ evaluado en cualquier $H\in\mathbb R^{m\times n}$ como $D_XF(H)=HAA^T.$