¿Cuál es el primer teorema de los Elementos de Euclides que utiliza el Axioma de Pasch?

Question

Tengo entendido que el axioma de Pasch falta en el conjunto de axiomas euclidianos, como demostró por primera vez Moritz Pasch y contó David Hilbert. Esto significa que habrá algunos teoremas en el Elementos que asume implícitamente ese axioma. ¿Cuál es el primero?

( Aquí Pasch's teorema se representa, no el axioma de Pasch)

Answer 1

Propuesta 7, Libro I

Dadas dos rectas construidas sobre una línea recta (desde sus extremos) y que confluyen en un punto, no pueden construirse sobre la misma línea recta (desde sus extremos) y en el mismo lado de ella, otras dos rectas que confluyan en otro punto y que sean iguales a las dos anteriores respectivamente, es decir, cada una a la que tiene el mismo extremo con ella. [Traducción de Heath.]

se refiere al "mismo lado" de una línea recta.

Que una línea recta en un plano tiene dos lados puede demostrarse utilizando el axioma de Pasch en conjunción con algunos axiomas de orden (postulados) para los puntos de una línea recta (véase, por ejemplo, los Grundlagen de Hilbert; traducción al inglés aquí: http://www.gutenberg.org/ebooks/17384 ). Los postulados de Euclides no contienen ninguna mención a un lado de una línea recta, por lo que se podría considerar que el axioma de Pasch se asume de alguna manera implícita en esta proposición.

Sin embargo, el axioma de Pasch no sería la única hipótesis candidata.

Las proposiciones 1-6 también contienen afirmaciones que no se desprenden de las definiciones, postulados y nociones comunes de Euclides (en cualquier lectura - el hecho es que el significado exacto de estos es en la mayoría de los casos difícil de discernir). Para llenar las lagunas se necesitarían postulados adicionales. Es concebible que el axioma de Pasch pueda estar implicado como un postulado extra en algunos posibles arreglos, así que yo no sería demasiado dogmático en cuanto a que la Proposición 7 es necesariamente la primera.