Ejemplo de forma de volumen

Question

Sé que un suave $n$ -manifold $M$ es orientable si y sólo si $M$ tiene una forma de volumen que no desaparece en ninguna parte. Como $S^n$ es un suave orientable $n$ -manifold, tiene una forma de volumen vanshing en ninguna parte. ¿Existe algún ejemplo sencillo de ello? es decir, una forma de volumen no evanescente en ninguna parte $n$ -formar en $S^n$ .

Answer 1

Sí, se puede tomar el producto interior de la "normalidad exterior" $\nu=\sum_{i=1}^nx^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ con la forma de volumen habitual $\mu=dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n$ en $\Bbb{R}^n$ , para conseguir \begin{align} \sigma_{n-1}=\iota_{\nu}(\mu)=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x^idx^1\wedge \cdots \widehat{dx^i}\wedge \cdots dx^n. \end{align} Esto (tirado hacia atrás para $S^{n-1}$ ) será una forma de volumen para la esfera $S^{n-1}$ . Por ejemplo, \begin{align} \sigma_1&= x\,dy-y\,dx \tag{for $S^1$}\\ \sigma_2&=x\,dy\wedge dz - y\,dx\wedge dz +z\,dx\wedge dy\tag{for $S^2$} \end{align} y así sucesivamente. Les dejo a ustedes que piensen por qué no se puede ir a ninguna parte.