función generadora exponencial para los números de bernoulli

Question

Cómo puedo encontrar la función generadora exponencial para esta secuencia

$(2^n − 1) B_n,$

donde $B_n$ son números de Bernoulli

Answer 1

Nos remitimos a la definición de los números de Bernoulli. Están definidos por el FEAG $$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{k=0}^\infty B_k \frac{x^k}{k!}.$$

La sustitución $x\mapsto 2x$ nos da $$\frac{2x}{e^{2x}-1} = \sum_{k=0}^\infty B_k 2^k \frac{x^k}{k!}.$$

Entonces el EGF de la secuencia $\left< (2^n-1)B_n\right>_{n\in\mathbb{N}}$ es sólo $$\frac{2x}{e^{2x}-1} - \frac{x}{e^{x}-1} = \frac{-x}{e^x+1}.$$

Así que el $n^\text{th}$ de la secuencia es el coeficiente de $x^n/n!$ en la expansión exponencial del FEAG anterior.