¿Se tropicalizan todas las identidades libres de resta?

Question

Si tomas una identidad racional libre de restas como $(xxx+yyy)/(x+y)+xy=xx+yy$ y la reemplazas $\times$,$/$,$+$,$1$ por $+$,$-$,min,$0$, ¿siempre obtienes un mínimo válido,más,menos identidad como min(min($x+x+x,y+y+y$)$-$min($x,y$),$\:x+y$)$\ =\ $min($x+x,y+y$)?

Answer 1

Sí. Reemplace $x$ con $e^{-Na}$, $y$ con $e^{-Nb}$, etc. Luego tome el registro, luego divida por $N$. Se obtiene una nueva identidad donde $\times$ es reemplazado por $+$, $/$ por $-$, $1$ por $0$, y $u+v$ por $-\ln (e^{-N u} + e^{-N v}) / N= \min(u,v) - \ln\left( 1+ e^{-N |u-v|}\right)/N = \min(u,v) + O(1/N)$. A continuación, tome el límite como $N$ va a $\infty$. Ahora tienes una identidad tropical.

Esto encaja con la idea de la geometría tropical como el límite de la geometría algebraica clásica a medida que las variables se hacen muy grandes.