Cálculo de la dimensión de un espacio cotangente de una curva

Question

Dejemos que $A$ sea el anillo local $$A=\left(\frac{\mathbb{C}[x,y]}{(y^2-x^3-x^2)}\right)_{(x,y)}$$ $\mathfrak{m}=(x,y)A$ sea el ideal máximo en $A$ . Me piden que calcule la dimensión del $\mathbb{C}$ -espacio vectorial $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ que es la dimensión del espacio cotangente en $(0,0)$ . Lo hago de la siguiente manera.

$$ \begin{aligned} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2&=\left(\frac{(x,y)}{(y^2-x^3-x^2)}\right)_{(x,y)}/\left(\frac{(x,y)^2}{(y^2-x^3-x^2)}\right)_{(x,y)}\\ &=\left(\frac{(x,y)_{(x,y)}}{(y^2-x^3-x^2)_{(x,y)}}\right)/\left(\frac{(x,y)^2_{(x,y)}}{(y^2-x^3-x^2)_{(x,y)}}\right)\\ &=\frac{(x,y)_{(x,y)}}{(x,y)^2_{(x,y)}}=\left(\frac{(x,y)}{(x,y)^2}\right)_{(x,y)}\simeq\mathbb{C}^2 \end{aligned} $$ Este argumento aparentemente correcto da el resultado deseado 2, pero me doy cuenta de que no he utilizado ninguna información sobre $(y^2-x^3-x^2)$ y será lo mismo en cualquier otro punto de $y^2-x^3-x^2$ que es imposible. Creo que debe haber algún problema en mi argumento, pero no lo encuentro. ¿En qué me equivoco? ¿Cuál es la forma correcta de hacerlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Voy a ser muy descuidado aquí; puedes limpiar después de mí.

Consideremos el punto no singular $P=(-1,0)$ , por lo que se quiere localizar en $(x+1,y)$ . Sus generadores parecen ser $x+1$ y $y$ pero como $x$ es una unidad en la localización, se podría generar el ideal máximo igualmente mediante $(x+1)x^2$ y $y$ . En otras palabras, al $y^2$ y $y$ Por lo tanto, por $y$ solo.