Wikipedia hace la afirmación:
"Aunque es una tarea compleja, la expresión analítica de $\sin 1°$ se puede obtener resolviendo analíticamente la ecuación cúbica $\sin 3° =3\sin 1° -4 \sin^3 1°$ de cuya solución se pueden derivar analíticamente funciones trigonométricas de todos los ángulos de grados enteros".
¿De dónde viene esta ecuación? Hice una búsqueda rápida en Google y no encontré mucho.
P.D. Si es posible, no respondas a esto usando series.
Ver el fórmula del triple ángulo trigonométrico para $\sin 3\theta$ :
$$\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2 \theta\sin\theta-\sin^3 \theta \\ \\ & = 3(1 - \sin^2\theta)\sin\theta - \sin^3 \theta \\ \\ & = 3\sin \theta - 4 \sin^3 \theta \\ \\ \end{align}$$ Ahora sustituye todas las apariciones de $\theta$ con $1^\circ$ .
Se puede derivar la identidad $$\sin(3x) = 3\sin(x)\cos^2(x) - \sin^3(x)$$ aplicando las reglas de suma de ángulos $$\begin{align*} \cos(a + b) &= \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \\ \sin(a+b) &= \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)\end{align*}$$
de la siguiente manera:
$$\begin{align*} \sin(3x) &= \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x) \\ &= \sin(x)\cos^2(x) + \sin(x)\cos^2(x) + \cos^2(x)\sin(x) - \sin^3(x) \\ &= 3\sin(x)\cos^2(x) - \sin^3(x)\end{align*}$$
Con las fórmulas de suma de ángulos también se puede obtener $\sin(n), \cos(n)$ para todos los demás enteros una vez $\sin(1)$ es conocido, como $$\begin{align*} \cos(n+ 1) &= \cos(n)\cos(1) - \sin(n)\sin(1) \\ \sin(n+1) &= \sin(n)\cos(1) + \sin(1)\cos(n)\end{align*}.$$
(Si tienes algo de experiencia con los números complejos, deberías averiguar por qué las fórmulas de suma de ángulos son sólo una consecuencia de $$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta),$$ así que todo esto viene de una sola identidad)
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