Se puede derivar la identidad \sin(3x) = 3\sin(x)\cos^2(x) - \sin^3(x) aplicando las reglas de suma de ángulos \begin{align*} \cos(a + b) &= \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \\ \sin(a+b) &= \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)\end{align*}
de la siguiente manera:
\begin{align*} \sin(3x) &= \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x) \\ &= \sin(x)\cos^2(x) + \sin(x)\cos^2(x) + \cos^2(x)\sin(x) - \sin^3(x) \\ &= 3\sin(x)\cos^2(x) - \sin^3(x)\end{align*}
Con las fórmulas de suma de ángulos también se puede obtener \sin(n), \cos(n) para todos los demás enteros una vez \sin(1) es conocido, como \begin{align*} \cos(n+ 1) &= \cos(n)\cos(1) - \sin(n)\sin(1) \\ \sin(n+1) &= \sin(n)\cos(1) + \sin(1)\cos(n)\end{align*}.
(Si tienes algo de experiencia con los números complejos, deberías averiguar por qué las fórmulas de suma de ángulos son sólo una consecuencia de e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta), así que todo esto viene de una sola identidad)