Transformación inversa de Laplace de $\frac{1}{s^a + 1}$ con $0 < a \leq 1$

Question

Problema

Estoy buscando la siguiente transformada inversa de Laplace, $$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^a + 1}\right] \;\;\;\;\; \text{with} \;\;\;\;\; 0 < a \leq 1. $$

Lo que entiendo

• con $a = 1$ , $f(t) = e^{-t}$

• para los pequeños $t \ll 1$ , $f(t)$ debe comportarse $$ f(t)\approx \frac{1}{\Gamma(a)} t^{a-1} $$ como $$ \frac{1}{s^a + 1} \approx s^{-a} $$ con grandes $s\gg 1$

• para grandes $t \gg 1$ , $f(t)$ debe comportarse $$ f(t) \approx \frac{a}{\Gamma(1-a)} t^{-(a+1)} $$ de $$ t f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{a s^{a-1}}{(s^a + 1)^2}\right] \approx \mathcal{L}^{-1}\left[a s^{a-1}\right] $$ con pequeñas $s \ll 1$ .

Solución numérica

Tengo una ecuación maestra para $f(t)$ y la transformada de Laplace anterior se obtiene a partir de esta ecuación maestra. Resolviendo numéricamente la ecuación maestra, obtuve la siguiente solución numérica,

Pero quiero una representación analítica (aunque sea aproximada), no la solución numérica.

¿Candidatos?

Dado que la solución puede conectar suavemente entre estas dos formas límite, y debe ser similar a la función exponencial si $a\approx 1$ Esperaba algo similar a la distribución kappa, $t^{a-1}\left(1 + \frac{t}{a+1}\right)^{-(a+1)}$ . Sin embargo, el exponente no coincide, y esto no reproduce ni la transformada de Laplace ni la solución numérica.

Wolfram alpha tampoco da una solución.

Se agradecería cualquier idea. Gracias de antemano.

Answer 1

Como @ vitamina señaló, la distribución que tiene la transformada de Laplace de $\frac{1}{1 + s^\alpha}$ se llama Distribución Mittag-Leffler .

Aunque no se conocen formas cerradas, se investigan muchas de sus propiedades, como su representación de mezcla exponencial 1 , $$ f(x; \alpha) = \frac{\sin(\pi \alpha)}{\pi} \int_0^\infty \frac{1}{\beta}\; e^{-x/\beta}\; \frac{\beta^\alpha}{1 + \beta^{2\alpha} + 2\beta^\alpha \cos(\pi \alpha)} \; d\beta $$