Si el proceso estocástico tiene trayectorias muestrales continuas

Question

Estoy considerando la siguiente pregunta y quiero convencerme de que el proceso estocástico $X$ tiene trayectorias de muestra continuas. Espero que alguien pueda darme alguna pista o referencia, ¡muchas gracias!

Supongamos que $\{B_t\}_{t\ge 0}$ es un movimiento browniano estándar y un proceso estocástico $\{X_t\}_{t\ge 0}$ se define como $$dX_t=\mathbf 1_{\{X_t\le a\}}dt+dB_t, X_0=x_0 \,\,a.s.$$ Por intuición, creo que $\{X_t\}_{t\ge 0}$ tiene trayectorias muestrales continuas, y parece que la clave está en demostrar que para cada $T\ge 0$ y para casi todos los $\omega\in \Omega$ la función $$F(T)=\int_0^T \mathbf 1_{\{X_t(\omega)\le a\}}\,dt$$ es continua

Answer 1

Dejemos que $F(T)$ se definan de la forma en que usted lo ha hecho. Considere $\epsilon > 0$ tenemos que $$\begin{align} F(T+\epsilon) &= \int_0^{T+\epsilon}\boldsymbol{1}_{\{X_t(\omega)\le a\}}dt\\ &= \int_0^{T}\boldsymbol{1}_{\{X_t(\omega)\le a\}}dt + \int_{T}^{T+\epsilon}\boldsymbol{1}_{\{X_t(\omega)\le a\}}dt \\ &\le F(T) + \int_{T}^{T+\epsilon}1\cdot dt = F(T) + \epsilon. \end{align}$$

Del mismo modo, podemos demostrar que $F(T+\epsilon) \in [F(T),F(T)+\epsilon]$ y $F(T-\epsilon) \in [F(T)-\epsilon,\epsilon].$

Por lo tanto, hemos demostrado que $|T'-T|\le \epsilon \Rightarrow |F(T')-F(T)|\le \epsilon$ . Por lo tanto, $F(T)$ es continua puntualmente en $\omega$ para cada $T\geq 0$ . Y como $B_t(\omega)$ es continua a.s., tenemos que $X_t$ es la suma de una función puntual y continua a.s., por tanto, continua a.s.