La probabilidad de lanzar un número par de cabezas es $\frac{1}{2}$ para cualquier

Question

No puedo entender esta pregunta tan sencilla.

Supongamos que el caso de la muestra es: $$ \Omega=\left\{ 0,1\right\} ^{n} $$

De modo que $\left|\Omega\right|=2^{n}$ .

Me gustaría calcular la probabilidad de este evento: $$ A=\left\{ \left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)\in\Omega:\sum_{i=1}^{n}a_{i}\,mod\,2\,=0\right\} $$

Puedo decir intuitivamente que $P\left(A\right)=\frac{1}{2}$ pero no estoy seguro de por qué. Supongo que funciona cuando $\left|A\right|=2^{n-1}$ y que: $$ P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{2^{n-1}}{2^{n}} $$ pero no puedo decir por qué $\left|A\right|$ sería igual a $2^{n-1}$ .

Estaré encantado de recibir alguna explicación y \or intuición para esto.

Answer 1

Tu intuición es correcta, aquí hay una forma tonta de ver por qué: considera el mapa $f : \Omega \to \Omega$ que envía $(a_1, \ldots, a_{n - 1}, a_n)$ a $\left(a_1, \ldots, a_{n - 1}, \left(1 + a_n\right) \text{ mod } 2\right)$ . Si $\Phi(a_1, \ldots, a_n)$ es la abreviatura de $\left(\sum_{i = 1} a_i\right) \text{ mod } 2$ entonces por supuesto tenemos que exactamente uno de $\Phi(a_1, \ldots, a_n)$ y $\Phi(f(a_1, \ldots, a_n))$ es $0$ y el otro es $1$ . Observe también que $f(f(a_1, \ldots, a_n)) = (a_1, \ldots, a_n)$ para que $f$ es una biyección $\Omega \to \Omega$ . En particular, se deduce que $f$ pone $A$ en biyección con $\Omega \setminus A$ . Así, $\lvert A \rvert = \lvert \Omega \setminus A \rvert$ y la única posibilidad es entonces que $\lvert A \rvert = 2^n / 2 = 2^{n - 1}$ .