¿Por qué los valores propios de las matrices nilpotentes son iguales a cero?

Question

Si $A$ es un $\displaystyle 10 \times 10$ matriz tal que $A^{3} = 0$ pero $A^{2} \neq 0$ (por lo que A es nilpotente) entonces sé que $A$ no es invertible, pero ¿por qué al menos un valor propio de $A$ tiene que ser igual a cero? ¿Cómo se puede demostrar que todos los valores propios de $A$ son iguales a cero?

Answer 1

Si $v$ es un vector propio no nulo correspondiente a un valor propio $\lambda$ tenemos, por definición, $Av=\lambda v$ . Entonces $A^2v= A( Av)= A(\lambda v)= \lambda^2v$ . Se deduce fácilmente que $\lambda^n$ es un valor propio de $A^n$ pero esta última es la matriz cero, para la que todos los valores propios son cero, por lo que $\lambda=0$ .

Answer 2

Supongamos que $\lambda$ es un valor propio de la matriz nilpotente $A,$ y $u$ su vector propio asociado. Entonces $$Au = \lambda u, u \neq 0$$ multiplicando por $A$ a la derecha muestra $$A^2u = \lambda Au = \lambda^2 u$$ y por inducción $$A^n u = \lambda^n u$$

Si $A$ es nilpotente, entonces $A^k = 0$ para algunos $k>0.$ que implica $\lambda^k = 0\to \lambda = 0.$

Answer 3

Alternativamente, haz el contrapositivo. Si $A$ tiene un valor propio distinto de cero, $\lambda,$ entonces $A^{k} \neq 0$ para todos $k.$

Prueba: existe $v \neq 0,$ tal que $$Av = \lambda v,$$ así que $$A^{k} v = \lambda^{k} v \neq 0.$$ Hecho.

Answer 4

Supongamos que $n$ es el menor número entero para el que $A^n=0$ . ya que $A$ es distinto de cero $n \gt 0$

sea el polinomio característico de $A$ sea

$$A^m+c_1A^{m-1}+\cdots + c_m = 0$$ aquí $m \le n$ . multiplicando la ecuación por $A^{n-1}$ da $$c_mA^{n-1} =0$$ por lo que $c_m=0$ . este procedimiento se puede repetir para demostrar que todos los coeficientes, excepto el primero, son cero, por lo que la ecuación es simplemente: $$A^m=0$$ y debemos tener $m=n$

ya que los valores propios son raíces de la ecuación: $$x^m = 0$$ se deduce que todos deben ser cero