Pequeña pregunta sobre los vectores propios como base para $V$

Question

Si $\beta = (v_{1}, .. v_{n})$ es una base del espacio vectorial $V$ , de tal manera que $v_{j}$ es un vector propio del operador $T \in \text{End}(V)$ para $j = 1,..,n$

¿Es correcto entonces decir que todos los vectores en $V$ son vectores propios de $T$ ya que todos ellos están en el Span de $(v_{1}, .. v_{n})$ y así todo el espacio vectorial es $T$ -¿Invariante?

Si tenemos otro operador $G \in \text{End}(V)$ de manera que cada $v_{j} \in \beta$ es también un vector propio de $G$ pero quizás con valores propios diferentes a los de $T$ entonces podemos decir que $T$ y $G$ son conmutativos, porque en todos los $v \in V$ ¿la acción de ambos operadores es realmente un escalar, por lo que no importa por qué escalar multiplico primero?

Estoy tratando de encontrar una prueba para un problema, pero siento que me falta algo.

Answer 1

Como se ha notado en el comentario, tu error viene del hecho de que la suma de dos vectores propios no es necesariamente un vector propio.

Para terminar, podemos demostrar que si todo el espacio está formado por vectores propios de $T$ entonces $T$ est un transformación homotética . Con cuantificadores, tenemos: $$ \forall x\in V, \exists\lambda_x\in \mathbb{K},T(x)=\lambda_x x $$ y queremos demostrarlo: $$ \exists\lambda\in \mathbb{K},\forall x\in V,T(x)=\lambda x $$ Entonces, todo lo que tenemos que hacer es demostrar que $\lambda_x=\lambda_y$ para todos $x$ y $y$ sur $V$ .

• Si $(x,y)$ es depende linealmente , $\exists \mu\in \mathbb{K}, x=\mu y$ . Entonces $T(x)=\lambda_x x = \lambda_x \mu y$ pero $T(x)=\mu T(y) = \mu \lambda_y y$ . Así que $\lambda_x=\lambda_y$ .

• Si $(x,y)$ es linealmente independiente entonces $T(x+y)=\lambda_{x+y} (x+y) = \lambda_{x+y} x + \lambda_{x+y} y$ y $T(x+y)=T(x)+T(y)=\lambda_x x + \lambda_y y$ así $\lambda_x =\lambda_{x+y} =\lambda_y$ .

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Volviendo a lo que escribiste sobre dos endomorfismos que comparten los mismos vectores propios, tu intuición es correcta. Eso funciona porque, como hay una base de vectores propios para cada uno, ambos $T$ y $G$ son diagonalizables (tanto en el mismo cuya matriz denotaremos por $P\in \mathcal{GL}_n(\mathbb{K})$ ).

Entonces $TG =PD_TP^{-1} \times PD_GP^{-1} = PD_TD_GP^{-1}= PD_GD_TP^{-1} =GT$ porque dos matrices diagonales conmutan.