Dejemos que $K$ sea un campo y $\mathcal{O}$ sea un anillo de valoración de $K$ (Así que $\mathcal{O}\subset K$ es un dominio integral con la propiedad de que $x$ o $x^{-1}$ está en $\mathcal{O}$ para todos $x\in K$ ). Definir una valoración $\nu: K^\times\rightarrow K^\times/\mathcal{O}^\times$ por el mapa de cociente, donde $\cdot^\times$ denota el grupo de unidades.
Ahora para los elementos $a,b\in K^\times$ definimos para $a\mathcal{O}^\times$ y $b\mathcal{O}^\times$ que $a\mathcal{O}^\times \le b\mathcal{O}^\times$ si $a^{-1}b\in\mathcal{O}$ . Goldschmidt en 'Algebraic functions and projective curves' afirma que esto define una ordenación total en $K^\times/\mathcal{O}^\times$ pero no lo entiendo del todo. Digamos que $a,b \in \mathcal{O}$ y $a^{-1},b^{-1}\notin \mathcal{O}$ Entonces tampoco entiendo por qué $a^{-1}b$ o $b^{-1}a$ tiene que estar en $\mathcal{O}$ .
Supongo que es cierto, pero ¿alguien puede explicarme por qué siempre es así? Gracias.
