El truco de Feynman para evaluar la integral $\int\limits_{0}^{2\pi}\sin^{8}(x)dx$

Question

Me gustaría evaluar la siguiente integral utilizando la diferenciación bajo el signo de la integral.

$$\int\limits_{0}^{2\pi}\sin^{8}(x)dx$$

Desgraciadamente, no se me ocurre una opción adecuada para una función con un parámetro. $\sin^{8}(ax)$ no funcionará, ni tampoco $\sin^{a}(x)$ ... Así que tal vez alguien podría darme una pista para hacer una elección adecuada de esa función.

Gracias.

Answer 1

Llama a la integral $I$ . Tenga en cuenta que

$$I = \int_0^{2\pi} \sin^8{x} \, \mathrm{dx} = 4\int_0^{\pi/2} \sin^8{x} \, \mathrm{dx}$$

Dejemos que $x = \arctan{t}$ . Entonces

$$I = 4\int_0^\infty \frac{t^8}{(1+t^2)^5} \, \mathrm dt.$$

Definir $$f(\alpha) = 4\int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha t^2)} \, \mathrm dt = \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha}}$$

Tomando la cuarta derivada de ambos lados tenemos:

$$ f^{(4)}(\alpha) =24 \int_0^\infty \frac{4t^8}{(1+\alpha t^2)^5} \, \mathrm dt = \frac{105\pi}{8\sqrt{\alpha^9}}$$

$$ I = \frac{1}{24} f^{(4)}(1) = \frac{1}{24} \cdot \frac{105\pi}{8} = \frac{35\pi}{64}.$$

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La forma más fácil de ver que $$\displaystyle \displaystyle I = 4\int_0^{\pi/2} \sin^8 x \, \mathrm dx.$$

es mirar el gráfico de $f(x) = \sin^8 x$ . El área bajo la curva de $0$ à $2\pi$ es 4 veces el área bajo la curva de $0$ à $\pi/2$ . Alternativamente, podemos derivar esto algebraicamente dividiendo la integral:

$\displaystyle I = \int_0^{\pi/2} \sin^8 x \, \mathrm dx + \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^8 x \, \mathrm dx+\int_\pi^{3\pi/2}\sin^8 x \, \mathrm dx+\int_{3\pi/2}^{2\pi/2} \sin^8 x \, \mathrm dx$

Dejemos que $t = x-\pi/2$ , $t = x-\pi$ , $t = x-3\pi/2$ para el $2$ nd, $3$ rd y $4$ integrales:

$\displaystyle I = \int_0^{\pi/2} \sin^8 t \, \mathrm dt + \int_{0}^{\pi/2} \cos^8 t \, \mathrm dt+\int_{0}^{\pi/2}\sin^8 t \, \mathrm dt+\int_{0}^{\pi/2} \cos^8 t \, \mathrm dt$

Dejemos que $t = \pi/2-u$ para el $2$ nd/ $4$ entonces se obtiene

$$\displaystyle \displaystyle I = 4\int_0^{\pi/2} \sin^8 t \, \mathrm dt.$$

Answer 2

Podrías intentar utilizar el hecho de que: $$\cos(8x)=\Re\left(\left[\cos x+j\sin x\right]^8\right)$$ Y reordenar. Entonces usa la fórmula del medio ángulo, aunque creo que algunos de los términos seguirían siendo bastante feos