Fijar una base de $V.$ Con respecto a esta base, cada elemento de $V$ puede expresarse de forma única como un elemento de $F^n.$ Ahora un subespacio unidimensional de $V$ es de la forma $\alpha w_1,$ para algunos $w_1 \in V \setminus \{0\}.$ Dejemos que $w_1= (\alpha_1, \cdots ,\alpha_n)$ (con respecto a la base elegida). Por lo tanto, al menos uno de los $\alpha_i$ es distinto de cero. Supongamos que $\alpha_1 \neq 0.$ Después de multiplicar por $\alpha^{-1},$ podemos suponer que $w_1 = (1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots , \alpha_n).$ Ahora, observe que, para cada elección de $(\alpha_2, \cdots , \alpha_n) \in F^{n-1},$ obtendremos diferentes subespacios vectoriales unidimensionales de $V.$ Así que para $w_1$ el número de elección es $q^{n-1}.$ Del mismo modo, si fijamos $1$ en cada uno de los $n$ coordenadas, obtendremos $q^{n-1}$ diferentes subespacios vectoriales unidimensionales de $V.$ Seguramente, habrá algunos subespacios comunes. Así que también hay que contarlos.
Dejemos que $w_{1,2} \in V$ ser de la forma $(1, 1, \alpha_3, \cdots , \alpha_n).$ Tenemos $q^{n-2}$ opciones independientes para dicho vector. Todas ellas darán diferentes subespacios unidimensionales de $V.$ Además, todos estos vectores se contaron en ambos $w_1$ y $w_2.$ Así que tenemos que restarlos. De manera similar para $w_{i,j}, i \neq j.$
Ahora considere $w_{1,2,3} \in V, w_{1,2,3} = (1,1,1,\alpha_4, \cdots , \alpha_n).$ Tenemos $q^{n-3}$ diferentes opciones para este tipo de vectores y cada una de ellas dará diferentes subespacios unidimensionales de $V.$ Pero estos fueron restados antes. Así que tenemos que sumarlos. Y así sucesivamente.
Esto es un poco desordenado. Pero este es un enfoque para resolver este tipo de problemas. Esto es sólo para subespacios unidimensionales. Para $k$ subespacios dimensionales, aunque la idea es esencialmente la misma, pero se requiere más precaución.
