Secuencias convergentes en el espacio métrico $(\mathbb{R}^n,d)$

Question

Dada una métrica $d : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ definido como $$ d(x,y) = \begin{cases} \lVert x \rVert + \lVert y \rVert & x\neq y \\ 0 & x = y \end{cases} $$

¿Cómo se pueden describir las secuencias convergentes en el espacio métrico $(\mathbb{R}^n,d)$ ?

Mi trabajo:

Esta métrica devolverá una distancia mayor entre dos puntos cualesquiera $x, y \in \mathbb{R}^n$ Así que por la desigualdad del triángulo si una secuencia converge en $(\mathbb{R}^n,d)$ también debe converger en $\mathbb{R}^n$ con la métrica estándar $\lVert x - y \rVert$ pero lo contrario no es necesariamente cierto, la métrica estándar en $\mathbb{R}^n$ es más fino.

¿Y las secuencias de Cauchy? No me queda muy claro si $(\mathbb{R}^n,d)$ es un espacio métrico completo.

Answer 1

Obsérvese que si para cualquier $k\geq 0$ , $$ d(x_{n},x_{n+k})\to 0\iff ||x_n||+||x_{n+k}||\to 0\implies ||x_n||\to 0 $$ Así, para cualquier secuencia de Cauchy, tenemos $$ d(x_n,0)=||x_{n}||\to 0 $$ y $x_n\to 0$ en esta métrica.

Dado que las secuencias convergentes son siempre Cauchy, esto contribuye en gran medida a describir las secuencias convergentes, incluso en términos de la métrica euclidiana habitual.

Answer 2

Por lo tanto, supongamos que $(x_n)$ converge a $x$ . De ello se desprende que $d(x_n, x)$ es arbitrariamente pequeño. Ahora supongamos que $(x_n)$ no es finalmente constante, es decir $x_n\neq x$ para un número infinito de $n$ . Entonces $d(x_n,x)=\lVert x_n\rVert+\lVert x\rVert\geq \lVert x\rVert$ . Si $x\neq 0$ entonces $d(x_n,x)\geq \lVert x\rVert>0$ y por lo tanto $x_n$ no puede ser convergente a $x$ .

De ello se deduce que si $x\neq 0$ entonces $(x_n)\to x$ si y sólo si $(x_n)$ es finalmente constante.

Por otra parte, siguiendo un razonamiento similar, concluimos que $(x_n)\to 0$ sur $d$ si y sólo si $(x_n)\to 0$ sur $\lVert\cdot\rVert$ .

Del mismo modo, si $(x_n)$ es Cauchy entonces $d(x_n, x_m)=\lVert x_n\rVert +\lVert x_m\rVert$ suponiendo que $(x_n)$ no es finalmente constante (que es el caso trivial). Así que $d(x_n,x_m)$ es arbitrariamente pequeño si y sólo si $\lVert x_n\rVert$ es arbitrariamente pequeño. Lo que significa que $(x_n)$ es Cauchy si y sólo si converge a $0$ (Omito el caso cuando $(x_n)$ es finalmente constante). En particular $(\mathbb{R}^n,d)$ está completo.