Solución de la ecuación integral con logaritmos

Question

Dans le Manual de ecuaciones integrales (1.4-1, 1.4-2), se dan soluciones para $y$ en las ecuaciones

$$\int_0^x{\ln(x-t)y(t)}\ dt = f(x)$$

y

$$\int_0^x{(\ln x-\ln t)y(t)}\ dt = f(x)$$

Estoy interesado en resolver

$$\int_0^x{(\ln(x-t)-\ln x)y(t)}\ dt = f(x)$$

Intenté usar sustituciones de variables o una combinación de los dos problemas anteriores, pero no pude hacer que nada funcionara.

Answer 1

La ecuación es equivalente a \begin{equation} \int_0^x\ln\left( 1-\frac{t}{x} \right)y(t)\,dt=f(x) \end{equation} o \begin{equation} \int_0^1\ln\left( 1-u \right)y(ux)\,du=\frac{f(x)}{x} \end{equation} Se puede encontrar una solución si $f(x)$ puede representarse como una serie \begin{equation} f(x)=x^\lambda\sum_{n=0}^N f_nx^n \end{equation} podemos expresar \begin{equation} y(x)=x^\lambda\sum_{n=0}^N b_nx^n \end{equation} Al identificar los coeficientes, tenemos \begin{equation} y(x)=x^\lambda\sum_{n=0}^N\frac{a_n}{I_n}x^{n-1} \end{equation} donde \begin{equation} I_n=\int_0^1 \ln(1-u)u^{n+\lambda-1}\,du \end{equation} tenemos (G\&R 4.293.8) \begin{align} I_n&=-\frac{1}{n+\lambda}\left[\psi(n+\lambda+1)-\psi(1)\right]\\ \end{align} donde $\psi$ es la función digamma. Si $\lambda=0$ tenemos $I_0=-\pi^2/6$ .