¿Esta secuencia siempre dan un número cuadrado?

Question

Pregunta : Suponiendo que una secuencia $\{a_n\}$ se define como $${a_{n+3}}^2=-{a_{n+2}}^2+2{a_{n+1}}^2+48a_{n+1}a_{n}+32{a_n}^2\ (n\ge 1)$$ $$a_1=a_2=a_3=1$$ a continuación, se $a_n$ un cuadrado, de número de $n$?

Por ejemplo, podemos ver $$\sqrt{a_n} : 1,1,1,3,1,5,7,3,17,11,23,45,1,91,89,93,271,85,457,627,287,1541,967,2115,\cdots$$

Motivación : he encontrado la siguiente pregunta en un libro sin ninguna prueba.

Suponiendo que una secuencia $\{b_n\}$ se define como $$b_{n+3}=-b_{n+2}+2b_{n+1}+8b_n\ (n\ge 1)$$ $$b_1=b_2=b_3=1,$$ entonces, demostrar que $b_n$ es un número cuadrado para cualquier $n$.

Esto es obvio por la siguiente expresión relacional : $$(b_{n+3}-b_{n+2})^2=64b_{n+1}b_n,$$ lo que puede ser demostrado por inducción en $n$.

Después de resolver esta cuestión, he tratado de encontrar una secuencia similar por el uso de la computadora. Entonces, he llegado a el por encima de las expectativas. La expectativa parece cierto, pero yo no puede encontrar ningún contraejemplo ni demostrar que la secuencia siempre da un número cuadrado. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Vamos $b_n = -b_{n-1} - 2b_{n-2}$, $b_1=1, b_2=-1$.

Yo reclamo que $a_n = b_n^2$, lo que obviamente es un cuadrado perfecto, para todos los $n \in \Bbb{Z}^+$. (Véase la nota a continuación)

Prueba por inducción:

Caso Base: $a_1 = a_2 = a_3 = b_1^2 = b_2^2 = b_3^2 = 1$

Hipótesis: $a_n = b_n^2$ $n \le k$

Inducción paso: Comenzar usando la hipótesis de inducción en la expresión de $a_{k+1}$:

$$\begin{align} &a_{k+1}^2 = -a_k^2+2a_{k-1}^2+48a_{k-1}a_{k-2}+32a_{k-2}^2 = -b_k^4 + 2b_{k-1}^4+48b_{k-1}^2b_{k-2}^2+32b_{k-2}^4 \end{align}$$

Queremos mostrar que $a_{k+1}^2 = b_{k+1}^4$. La expansión de $b_{k+1}^4$ le da:

$$\begin{align} &b_{k+1}^4 = (-b_k - 2b_{k-1})^4 = b_k^4 + 8b_k^3b_{k-1}+24b_k^2b_{k-1}^2+32b_kb_{k-1}^3+16b_{k-1}^4 = \\\\ &-b_k^4+2b_{k-1}^4+48b_{k-1}^2b_{k-2}^2+32b_{k-2}^4 + \\ &{\color{red}{2b_k^4+8b_k^3b_{k-1}+24b_k^2b_{k-1}^2+32b_kb_{k-1}^3+14b_{k-1}^4-48b_{k-1}^2b_{k-2}^2-32b_{k-2}^4}} \end{align}$$

Si ahora se puede demostrar que la parte roja es igual a cero, hemos terminado. Esto se puede hacer mediante la sustitución de $b_k$ $(-b_{k-1}-2b_{k-2})$ y en expansión.

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La motivación de mi reclamación: Una búsqueda en OEIS.

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EDIT: me acabo de dar cuenta de que la prueba por inducción es completamente innecesario. Mostrando que la expansión de la $b_{n}^4$ es igual a la fórmula de recursión para $a_n^2$ es suficiente, es decir, los detalles en la inducción paso anterior. Supongo que estaba demasiado involucrado en el manipulaciones algebraicas para ver la imagen en grande en el tiempo.