¿Por qué sólo hay un número finito de grupos simples esporádicos?

Question

¿Existe alguna razón general por la que, tras excluir las clases infinitas de grupos simples finitos (cíclicos, alternos, de tipo Lie), lo que queda el esporádica La lista de los números primos, grupos simples finitos excepcionales, es en realidad una lista finita (sólo 26). En cierto sentido, los números primos pueden considerarse "esporádicos", pero hay una cantidad infinita. ¿Hay algún principio que indique que sólo debe haber un número finito de estos grupos excepcionales, y que el "único problema" (para minimizar un enorme esfuerzo comunitario de varios años) era identificarlos?

Lo pregunto desde mi relativa ignorancia de la teoría de grupos moderna, y pido disculpas de antemano por la ingenuidad de mi pregunta.

Answer 1

Gerhard Michler ha trabajado en un programa de investigación para mostrar de forma bastante convincente que la posibilidad de que existan infinitos grupos esporádicos (con una construcción uniforme, pero con propiedades muy poco uniformes) era bastante real. A grandes rasgos, la segunda ronda de grupos esporádicos se descubrió buscando configuraciones especiales de centralizadores de involuciones, y él muestra cómo se puede continuar esta búsqueda, cómo se construyen casi todos los grupos simples esporádicos de manera uniforme, y cómo no se detiene obviamente ahí.

Esto se discute con cierto detalle en sus libros MR2266036 y MR2583258 La teoría de los grupos simples finitos, volúmenes I y II.

Así que, al menos según él, no hay que dar por sentado que sólo existen grupos esporádicos finitos, ya que existe un procedimiento bastante razonable para producir posiblemente una colección infinita de grupos simples finitos básicamente no relacionados (al menos, no tan relacionados como los grupos de un tipo y rango de Lie fijo).

Answer 2

Chevalley (en el trabajo citado anteriormente), describió lo que llamamos los grupos simples finitos de Lie-Chevalley a los que añadimos sus subgrupos de punto fijo. Hay otros 26 grupos simples finitos construidos fuera de este programa y que se denominan los esporádicos. La clasificación CFSG nos dice que la lista está completa.

Para entender los esporádicos, necesitamos encontrar otras construcciones con el objetivo de capturar todas las FSG.

Hay una gran cantidad de matemáticas establecidas que pueden ser necesarias. CFSG no se aleja de los grupos finitos y su geometría, pero explora pero la exploración de áreas tan diversas como los sistemas integrables, la geometría y los sistemas KMS BC pueden arrojar luz sobre el problema de por qué tenemos esporádicos. Si podemos construir uniformemente todos los grupos finitos, es posible que encontremos propiedades comunes aún no descubiertas y una "razón" común para ellas.

Answer 3

¿Qué entendemos por "esporádico"? Sugiero que podemos encontrar alguna extensión del programa de Chevalley (Tohoku J 1950+) que aporte los esporádicos. Se trata de construcción, no de la clasificación tal y como la conocemos.

Answer 4

No puedo dar una explicación matemática. Pero puedo dar una explicación filosófica...

Se ha descubierto por "Monstrous Moonshine" que algunos de los grupos esporádicos están relacionados con simetrías en la teoría de cuerdas que se cree que es un modelo bastante bueno de nuestro Universo (en el sentido de que predice la gravedad y algunas otras fuerzas).

Si imaginamos que una descripción del Universo implica algún tipo de álgebra con una simetría complicada, entonces para que sea única es probable que sea del tipo esporádica y no una en una familia infinita.

Dado que los grupos están relacionados con las simetrías, un número infinito de simetrías esporádicas podría corresponder a un número infinito de tipos de Universo posibles. Conceptualmente, la probabilidad de que nuestro Universo corresponda a uno de los grupos de simetría más pequeños sería cero.

Por lo tanto, si hubiera un número infinito de grupos esporádicos,... el Universo no debería existir. O al menos no debería ser comprensible para nadie en él.