Su primer enfoque es correcto. En el enfoque 2, has restado las disposiciones en las que las tres vocales son consecutivas, pero has pasado por alto la posibilidad de que exactamente dos de las vocales sean adyacentes.
Enfoque 1: Ordena las cinco consonantes distintas T, R, N, G, L en $5!$ formas. Así se crean seis espacios, cuatro entre consonantes y dos en los extremos de la fila, en los que se insertan las vocales. $$\square C_1 \square C_2 \square C_3 \square C_4 \square C_5 \square$$ Elige tres de los seis espacios en los que colocar las vocales en $\binom{6}{3}$ formas, y a continuación, disponer las vocales en los espacios seleccionados en $3!$ formas. Esto da $$5!\binom{6}{3}3! = 14,400$$ disposiciones de las letras de la palabra TRIÁNGULO en las que no hay dos vocales adyacentes.
Enfoque 2: Hay $8!$ formas de ordenar las letras de la palabra TRIÁNGULO. Has restado las $6!3!$ casos en los que las tres vocales son consecutivas. Sin embargo, también debemos restar los casos en los que exactamente dos vocales son adyacentes.
Para el caso en que exactamente dos de las tres vocales sean adyacentes, disponga las cinco consonantes distintas T, R, N, G, L en $5!$ formas. Así se crean seis espacios, cuatro entre consonantes y dos en los extremos de la fila, en los que se insertan las vocales. $$\square C_1 \square C_2 \square C_3 \square C_4 \square C_5 \square$$ Elija uno de estos seis espacios para colocar dos vocales y uno de los cinco espacios restantes para colocar la vocal restante. Por último, coloque las tres vocales en los espacios elegidos de izquierda a derecha. Hay $$5! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3!$$ arreglos en los que exactamente dos de las vocales son adyacentes.
Por lo tanto, el número de arreglos admisibles es $$8! - 5! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3! - 6!3! = 14,400$$
Nota : Otra forma de restar los casos en los que al menos dos vocales son adyacentes es utilizar el Principio de inclusión-exclusión . Hay $8!$ formas de ordenar las letras de la palabra TRIÁNGULO.
Si dos de las vocales son adyacentes, tenemos siete objetos que ordenar, el bloque de dos vocales y las otras seis letras. Hay $\binom{3}{2}$ formas de seleccionar las vocales en el bloque, $7!$ formas de organizar los siete objetos, y $2!$ formas de ordenar las vocales dentro del bloque. Sin embargo, si restamos el $$\binom{3}{2}7!2!$$ arreglos con un par de vocales adyacentes, restaremos demasiado ya que habremos restado cada caso con dos pares de vocales adyacentes dos veces, una por cada forma en que podríamos haber designado uno de esos pares como el par de vocales adyacentes. Por lo tanto, tenemos que añadir tales arreglos al total.
Como sólo hay tres vocales, la única manera de obtener dos pares de vocales adyacentes es tener tres vocales consecutivas. Si las tres vocales son consecutivas, tenemos seis objetos que ordenar, las cinco consonantes y el bloque de tres vocales. Los seis objetos se pueden ordenar en $6!$ formas. Las tres vocales pueden disponerse dentro del bloque en $3!$ formas. Así, hay $$6!3!$$ arreglos en los que las tres vocales son consecutivas.
Por el Principio de Inclusión-Exclusión, el número de arreglos admisibles es $$8! - \binom{3}{2}7!2! + 6!3! = 14,400$$
