Llevo todo el día obsesionado con esto. Entiendo la asociatividad, la presencia de elementos inversos y la identidad, pero no entiendo por qué una composición de una reflexión con una rotación u otras reflexiones debe ser igual a una sola reflexión o rotación... ¡Realmente me gustaría tener una intuición de por qué funciona, y tal vez entender la prueba!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una forma de entender por qué los grupos diedros son cerrados bajo composición es observar las representaciones matriciales de rotaciones y reflexiones, que son
$$\begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \text{ and } \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \text{ for some } \theta$$ respectivamente. No es un ejercicio demasiado largo/difícil demostrar que estas son las formas generales de $2$ -por- $2$ matrices ortogonales (son matrices con $AA^T = A^TA = I$ ) que forman un grupo (¡usar la definición es mucho más fácil que usar las formas generales!)
Como el primer conjunto de las matrices tiene determinante 1 (correspondiente a las rotaciones), y el segundo tiene determinante $-1$ (reflexiones), por la propiedad multiplicativa del determinante, es entonces sencillo ver que, por ejemplo, dos reflexiones darán una rotación.
Aunque esto no demuestra que el grupo diedro es cerrado bajo composición, no es demasiado trabajo hacerlo entonces observando que el grupo está formado por transformaciones de la forma $A^cB^d$ , donde $c \in \{0,1\}$ , $d \in \{0, 1, \ldots, n-1 \}$ y $A/B$ son las reflexiones/rotaciones $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \text{ and } B = \begin{pmatrix} \cos(\tfrac{2\pi}{n}) & - \sin(\tfrac{2\pi}{n}) \\ \sin(\tfrac{2\pi}{n}) & \cos(\tfrac{2\pi}{n}) \end{pmatrix}.$$
Hay que reconocer que esta es una forma bastante fastidiosa y larga de pensar...
